第一章集合与简单逻辑提高测试题二1

海量资源尽在星星文库：提高测试（二）（一）选择题（每小题5分，共30分）1．若x2－2x－3＜0则（）．（A）x＜－1（B）x＞3（C）x＞0（D）x＜8【提示】x2－2x－3＜0－1＜x＜3x＜3本题寻求的是x2－2x－3＜0的必要条件而不是充要条件．【答案】（D）．2．已知xR，yR＋，集合A＝｛x2＋x＋1，－x，－x－1｝，集合B＝｛－y，2y，y＋1｝，若A＝B，则x2＋y2的值是（）．（A）5（B）4（C）25（D）10【提示】－x－1＜－x≤x2＋x＋1∵yR＋，∴－y＜－2y＜y＋1．∵A＝B∴11212yxxyxyx.21yx经检验，x＝1，y＝2满足集合元素的互异性，所以x2＋y2＝5．【答案】（A）．3．I为全集，集合A，B满足AB＝I，那么①IAIB＝，②A∩IB＝IB，③A∪IB＝A，④BIA四个命题中正确的命题的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）4【提示】（1）IAIB＝I（AB）＝II＝（2）AB＝IA＝IBAIB＝IB（3）AB＝IIB＝AAIB＝A（4）AB＝IB＝IABIA所以（1），（2），（3），（4）都正确．【答案】（D）．4．M＝｛x｜x＝3m＋5n，m，nZ｝，N＝｛x｜x＝2m＋4n，m、nZ｝那么M与N的关系是（）．（A）M＝N（B）MN（C）MN（D）MN＝【提示】略解1：集合M中同时含有奇数、偶数；集合N中仅含偶数，所以（A）（B）一定是错误的，又因为8M，8N∵MN＝∴（D）错误．由排除法得答案为（C）．海量资源尽在星星文库：：对任意的x0N，则必存在着m0，n0Z若x0＝2m0＋4n0＝3（－m0－2n0）＋5（m0＋2n0）∵－m0－2n0Z，m0＋2n0Z∴x0M∴NM．又3M，3N∴NM．【答案】（C）．5．关于x的二次方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小的充要条件是（）．（A）－1＜a＜1（B）a＜－1或a＞1（C）－2＜a＜1（D）a＜－2或a＞1【提示】略解1：设函数y＝x2＋（a2－1）x＋（a－2）由图象易知：方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一个根比1大，一个根比1小1＋（a2－1）＋a－2＜0－2＜a＜1．略解2：设方程的两个根为x1、x2，x1＞1＞x2则11021xx1)1(1)1(021xx0)1)(1(021xx－2＜a＜1．【答案】（C）．6．在坐标平面内，纵横坐标都是整数的点，叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷整点的直线的集合，那么表达式正确的有几个（）．（1）MNP＝I（2）N≠（3）M≠（4）P≠（A）1（B）2（C）3（D）4【提示】构造出y＝2x，y＝2，y＝x2＋3，y＝x来说明（2）、（3）、（4）均是正确的，所以本题的难点在于证明过两个整点的直线一定过无数个整点．设直线ax＋by＝G过整点（x0，y0），（x0，y0）易证直线必过整点（（n＋1）x0－x0，（n＋1）y0－y0）所以直线ax＋by＝G必过无数个整点．【答案】（D）．（二）填空题（每小题6分，共30分）1．已知I＝R，集合A、B都是实数集I的子集．AIB＝{x｜x2＜4}，AIB＝｛x｜（x－4）（8－x）≥0｝，IAIB＝｛x｜x2－6x－16＞0｝，求则AB＝____________．【提示】AIB＝{x｜x2＜4}＝{x｜－2＜x＜2}，IAB＝｛x｜（x－4）（8－x）≥0｝＝｛x｜4≤x≤8｝，海量资源尽在星星文库：IB＝｛x｜x2－8x－16＞0｝＝{x｜x＞8或x＜－2}．由文氏图易知AB＝（AIB）（IAB）（IAIB）将AIB，IAB，IAIB分别画在同一条轴上．【答案】AB＝{x｜2＜x＜4}．【点评】本题涉及的各集合关系较多，采用文氏图和数轴表示使集合间的各种关系较为直观．其中AB＝（IAB）（AIB）（IAIB）这一关系式可由集合的基本运算推出．2．集合M＝｛x｜x＝2n－2k，n、kN且n＞k｝，集合P＝｛x｜1901≤x≤2000且xN｝则集合MP中所有元素的和为______________．【提示】∵x≥1901∴2n＞1901∴n≥11．当n＝12时，2n－2k的最小值为212－211＝2048＞2000∴n＝11，进一步推理易知，k＝7或6，∴MP＝｛211，－27，211，－26｝＝｛1920，1984｝∴MP中各元素的和为1920＋1984＝3904．【答案】3904．【点评】运用不等式控制的方法求出n的值是解题关键．3．已知集合A＝｛（x，y）｜y＝ax＋2｝，B＝｛（x，y）｜y＝|x＋1|｝，且AB是一个单元集，则实数a的取值范围为________________．【提示】运用函数图象．【答案】(－∞，－1][1，＋∞)．4．已知集合A＝｛x｜x＝a2＋1，aN＋｝，B＝｛y｜y＝b2－6b＋10，bN＋｝，则A与B的关系为________________．【提示】B＝｛y｜y＝（b－3）2＋1，bN＋｝，当b＝4，5，6，…时，y的值与集合A中a＝1，2，…时，x的值相同，而b＝3时，y＝1B，但1A．【答案】AB．5．已知I＝｛（x，y）｜x，yR｝，A＝｛（x，y）｜y＝3x－2｝，B＝｛（x，y）｜24xy＝3｝，则IAB＝____________．【提示】B＝｛（x，y）｜y＝3x－2，x≠2｝．【答案】｛（x，y）｜x，yR且（x，y）≠（2，4）｝．（三）解答题（第1，2小题每小题13分，第3小题14分，共40分）1．已知集合M＝｛x｜x＝12m＋8n＋4k，m、n、kZ｝与N＝｛x｜20p＋16q＋12r，p、q、rZ｝，求证：M＝N．【证明】（1）证MN对任意的x0M，则必存在m0、n0、k0Z，使x0＝12m0＋8n0＋4k0＝20n0＋16l0＋12（m0－n0－k0）海量资源尽在星星文库：∵n0，k0，m0－n0－k0Z∴x0N．∴MN．（2）证NM对任意的x0N，则必存在p0、q0、r0，使x0＝20p0＋16q0＋12r0＝12（r0＋p0＋q0）＋8p0＋4q0．∴x0M．∴NM．综上知，M＝N．【点评】将系数为12，8，4的代数式与系数为20，16，12的代数式互相转化是解题的难点也是关键，为解决这个难点可采用待定系数法．2．设M＝｛1，2，3，…，1995｝，A是M的子集，且满足条件：若kA时，则15k不属于A，求A中最多能有多少个元素？【解】（1）构造125个数组：（9，9×15）；（10，10×15），…，（133，19×15）由条件知A中不能同时包含任一数组中的两个数，所以A中元素的个数不会超过1995-125＝1870个（2）当A＝｛1，2，…，8，134，135，…1995｝时满足条件，所以A中元素可达1870个综合（1）（2）知，A中最多有1870个元素。3．设A＝｛xy｜22)1(yx≤1｝，Bm＝｛x，y｜y＝－（x－m）2＋2m｝，B＝RmmB，求AB的面积．【解】集合A可以看作是以（0，1）为圆心，以1为半径的圆及圆内所有点的集合；Bm表示以（m，2m）为顶点，形状与2xy相同的抛物线；B表示当m运动变化时，得到的所有Bm的并集，如图。当变化时，Bm的顶点的轨迹为一条直线xy2。设直线kxy2与抛物线y＝－（x－m）2＋2m相切∴kx2＝－（x－m）2＋2m02)22(22kmmxmx∴Δ＝0)2(4)22(22kmmm即044kk＝1∴B表示直线12xy以下的部分（含12xy上的点）∵点（0，1）在直线12xy上∴AB即为半圆．∴AB的面积为2．112xy2xy