第二章函数基础测试题

高考网基础测试（一）选择题（每小题4分，共24分）1．下列各函数中，图象完全相同的是（）．（A）y＝2lgx和y＝lgx2（B）y＝xx2和y＝x（C）y＝1|1|xx和y＝),1(1)1,(1xx当当（D）y＝x－3和y＝962xx【答案】（C）．【点评】应考察每组两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．设f（x）＝3412xx（x∈R且x≠－43），则f－1（2）等于（）．（A）－65（B）115（C）52（D）－52【答案】（A）．【点评】运用反函数的概念，只需在原函数中令2＝3412xx，解出x，即为所求．3．设a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，这三个函数之间的大小关系是（）．（A）a＜c＜b（B）a＜b＜c（C）b＜a＜c（D）b＜c＜a【答案】（C）．【点评】三个数中a＞0，c＞0，b＜0，否定（A），（B）．而a＜1，c＞1，故选（C）．4．若loga2＜logb2＜0，则（）．（A）0＜a＜b＜1（B）0＜b＜a＜1（C）a＞b＞1（D）b＞a＞1【答案】（B）．【点评】利用对数函数的图象和性质以及换底公式可解．【提示】loga2＝a2log1，logb2＝b2log1，由a2log1＜b2log1＜0，得0＞log2a＞log2b，∴1＞a＞b＞0．高考网．将函数y＝f（x－1）的图象作适当的平移，可得到函数y＝f（x＋2）的图象，这个平移是（）．（A）向左平移3个单位（B）向右平移3个单位（C）向左平移2个单位（D）向右平移2个单位【答案】（A）．【点评】函数y＝f（x＋a）（a＞0）的图象是由y＝f（x）向左平移a个单位得到的．将y＝f（x－1）的图象向左平移3个单位，就得到y＝f（x＋3－1）＝f（x＋2）的图象．6．函数f（x）＝21xax在区间（－2，＋∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）．（A）0＜a＜21（B）a＞21（C）a＜－1或a＞1（D）a＞－2【答案】（B）．【点评】利用反比例函数的单调性，函数y＝a＋221xa即（x＋2）（y－a）＝1－2a．若在（－2，＋∞）上是增函数，只需1－2a＜0，故a＞21．（二）填空题（每小题5分，共25分）1．若（x，y）在一一映射下的象是（x＋y，x－y），其中x∈R，y∈R，则（1，2）的象是_________；（1，－3）的原象是___________．【答案】（3，－1）；（－1，2）．2．已知函数y＝2x2＋4（a－4）x＋5，在（－∞，－3）上是减函数，则a的取值范围是________．【答案】a≤7．【点评】要切实掌握好二次函数的定义及有关的性质，本题中函数图象对称轴方程是x＝4－a，且开口向上，故只要4－a≥－3即可．3．函数f（x）＝log2（3－2x－x2）的值域是___________．【答案】（－∞，2]．【点评】复合函数的值域问题，要注意先求函数的定义域，从而求出u＝3－2x－x2＞0的值域，再利用对数函数y＝log2u性质求得答案．4．函数y＝log0.5（x2＋x－6）的单调区间是___________．【答案】增区间为（－∞，－3），减区间为（2，＋∞）．【点评】复合函数的单调性问题，要注意增增“增”、减增“减”、增减“减”、减减“增”等规律．y＝log0.5u是减函数，因此只要求出u＝x2＋x－6的单调区间即可，本题容易忽视函数的定义域而导致错误．5．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋3x），那么当x∈（－∞，0）时，f（x）＝__________．【答案】本题中的f（x）是一个分段函数，要能够正确运用奇函数的性质，利用x＞0时函数的解析式，得出x＜0时的解析式．要注意求谁的解析式以谁为主，设x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1＋3x）＝－x（1－3x），而f（－x）＝－f（x）．高考网∴f（x）＝x（1－3x）．（三）解答题（本题共4小题，共51分）1．（本小题共12分）等腰梯形ABCD下底AB＝10，上底DC＝4，两腰AD＝BC＝5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y，求函数y＝f（x）．【略解】如图，可知等腰梯形的高为4，当P点运动到P1位置时，△AP1B的高P1H1＝54x．∴此时BAPS1＝21×10×54x，当P点运动到P3位置时，△AP3B的高P3H3满足：433HP＝514x，此时BAPS3＝21×10×5456x，当P点在CD上时，BAPS3＝21h×AB＝21×4×10＝20∴y＝)149(456)95(20)50(4xxxxx【点评】画图，利用图形思考，是一项基本功．本题运用的分类讨论思想，数形结合思想是中学数学中重要的思想方法．2．（本题共13分）设0≤x≤1，x为变量，a为常数，求函数f（x）＝（4－3a）x2－2x＋a的最大值．【略解】若4－3a＝0，则f（x）＝－2x＋34是单调减函数，∴f（x）最大值为f（0）＝a＝34；若4－3a≠0，则f（x）为二次函数，其对称轴方程为：x＝a341，f（0）＝a，f（1）＝2－2a．当a＞32时，f（0）＞f（1）；当a＜32时，f（0）＜f（1）；高考网∴f（x）的最大值为f（1）＝2－2a；当a取其他实数时，f（x）的最大值为f（0）＝a．【点评】二次函数是中学数学中的重要函数之一．二次函数的有关性质，特别是在闭区间上求二次函数的最值问题应该熟练掌握．本题中的二次函数含有参数a，应注意分类讨论思想的应用．3．（本题共13分）已知函数f（x）＝lg（ax2＋2x＋1），（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【略解】（1）ax2＋2x＋1＞0恒成立，只需＝4－4a＜0，且a＞0，即a＞1，满足题意．（2）若f（x）的值域为R，则需u＝ax2＋2x＋1能取遍一切正数，需满足a＞0且＝4－4a≥0，即0＜a≤1为所求．【点评】许多同学做此题时，不能理解（2）题的题意，关键是欲使f（x）的值域为R，则必需u＝ax2＋2x＋1能取遍一切．．．．正数，所以抛物线的开口向上，且与x轴要有交点．4．（本题共13分）已知函数f（x）＝lg（ax－bx）（a＞1＞b＞0）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并予以证明；（3）当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，＋∞）内取正值，而不在（1，＋∞）上则不取正值．【略解】（1）ax－bx＞0（ba）x＞1，而ba＞1，∴f（x）的定义域为：x＞0，（2）利用函数单调的定义证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数，（略）（3）利用（2）的解法及所给条件应有f（1）＝0．即由lg（a－b）＝0，故a－b＝1为所求．