第二章函数提高测试题一

高考网提高测试（一）（一）选择题（每小题4分，共24分）1．已知函数f（x）的定义域为[a，b]且b＞－a＞0，则函数F（x）＝f（x）＋f（－x）的定义域是（）．（A）[a，－a]（B）（－∞，－a）[a，＋∞)（C）[－a，a]（D）（－∞，a）[－a，＋∞)【答案】（A）．【点评】本题考查函数定义域的概念，F（x）的定义域应满足a≤x≤b，且a≤－x≤b，即axbbxa解答本题应正确在数轴上画出所示区域，借肋图形得到答案．2．已知函数f（x）＝ax＋b的图象经过点（1，7）其反函数f－1（x）的图象经过点（4，0），则f（x）的表达式是（）．（A）f（x）＝3x＋4（B）f（x）＝4x＋3（C）f（x）＝2x＋5（D）f（x）＝5x＋2【答案】（B）．【点评】运用f（x）和f－1（x）的关系，f－1（x）的图象经过（4，0）点，可知原来的函数f（x）必过点（0，4）．3．已知f（x）＝2|x|＋3，g（x）＝4x－5，若f[p（x）]＝g（x），则p（3）的值为（）．（A）2（B）±2（C）－2（D）不能确定【答案】（B）．【点评】本题考察函数概念的对应法则，由已知：2|p（x）|＋3＝4x－5，所以|p（x）|＝2x－4，∴|p（3）|＝2，故p（3）＝±2．4．设f（x）＝ax7＋bx3＋cx－5其中a，b，c为常数，如f（－7）＝7，则f（7）等于（）．（A）－17（B）－7（C）14（C）21【答案】（A）．【点评】本题考察函数奇偶性的灵活运用，f（x）是一个非奇非偶函数，注意到：f（x）＝g（x）－5，而g（x）是一个奇函数，由f（－7）＝g（－7）－5＝7，得g（－7）＝－12，故f（7）＝g（7）－5＝－12－5＝－17．5．已知1＜x＜d，令a＝（logdx）2，b＝logd（x2），c＝logd（logdx），则（）．（A）c＜b＜c（B）a＜c＜b（C）c＜b＜a（D）c＜a＜b【答案】（D）．【点评】比较大小采用的方法之一是“中间值”法，如本题中将a，b，c先与0比较，知a＞0，b＞0，而c＜0．利用“函数的单调性”或“比较法”等可解．6．下列命题中，正确的命题是（）．（A）y＝2lgx与y＝lgx2是同一个函数（B）已知f（x）是定义在R上的一偶函数，且在[a，b]上递增，则在[－b，－a]上也递增高考网（C）f（x）＝|log2x|是偶函数（D）f（x）＝loga（xx21）的奇函数【答案】（D）．【提示】（A）中两个函数的定义域不同，前者x＞0，后者x≠0；（B）中，在[－b，－a]上应递减；（C）中f（x）的定义域是x＞0，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（二）填空题（每小题5分，共25分）1．若函数y＝612x，x∈[－2，－1]，则其反函f－1（x）＝______．【答案】f－1（x）＝－xx16（－21≤x≤－51）．【点评】要切实掌握好求反函数的一般步骤，还需特别注意，反解x时，x的取值范围，如本题中，由x2＝y1＋6，求x时，开方应取“负”．另外，求反函数，必须证明反函数的定义域，可通过求原函数的值域完成．2．已知函数f（x）的定义域是[－1，2]则函数f（x2）的定义域是________．【答案】[－2，2]．【提示】解不等式：－1≤x2≤2可得．∴0≤|x|≤2，∴－2≤x≤2．3．已知f（n）＝)10()]5([)10(3nnffnnn∈N，则f（5）的值等于________．【答案】8．【点评】考查对对应法则f的理解．f（5）＝f[f（5＋5）]＝f[f（10）]＝f（10－3）＝f（7）＝f[f（7＋5）]＝f（12－3）＝f[f（9＋5）]＝f（14－3）＝f（11）＝11－3＝8．4．函数y＝2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值为_________．【答案】x＝4时，ymin＝lg4．5．方程log2（9x－1＋7）＝2＋log2（3x－1＋1）的解为________．【答案】x＝1或x＝2．由9x－1＋7＝4（3x－1＋1），得（3x－1）2－4·3x－1＋3＝0，故3x－1＝1或3可解．（三）解答题（共4个小题，满分51分）1．（本题满分12分）设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且在[0，1)上是减函数，若f（t－1）＋f（2t－1）＞0，求t的取值范围．【略解】由已知，f（2t－1）＞－f（t－1）＝f（1－t）（*），又f（x）在[0，1）上是减函数且是奇函数，∴f（x）在（－1，1）上是减函数，故（*）式等价于：高考网tttt11211111210＜t＜32为所求．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用．在由函数值的大小关系，利用单调性得两个自变量值之间的关系时，一定要将两个自变量落在同一个单调区间内．2．（本题满分13分）已知f（x）＝logaxx11（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．【略解】（1）∵xx11＞0，∴f（x）定义域为（－1，1）．（2）设－1＜x1＜x2＜1，则f（x1）－f（x2）＝loga1111xx－loga2211xx＝loga)1)(1()1)(1(2121xxxx＝loga)()1()()1(12211221xxxxxxxx∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，∴（1－x1x2）＋（x2－x1）＞（1－x1x2）－（x2－x1）即)()1()()1(12211221xxxxxxxx＜1．∴当a＞1时，f（x1）＜f（x2），在（－1，1）上是增函数．当0＜a＜1时，f（x1）＞f（x2），在（－1，1）上是减函数．（3）当a＞0时，欲f（x）＞0，则有xx11＞1，解得0＜x＜1．当0＜a＜1时，欲f（x）＞0，则有0＜xx11＜1，解得－1＜x＜0．【点评】本题综合考查了函数的定义域；用定义证明函数的单调性，对数的有关概念及解不等式的问题．3．（本题满分13分）已知a∈N，关于x的方程lg（4－2x2）＝lg（a－x）＋1有实根，求a及方程的实根．【略解】由00242xax解得－2＜x＜2且x＜a，又方程4－2x2＝10（a－x），整理得：x2－5x＋5a－2＝0，＝25－4（5a－2）≥0，得a≤2033，高考网∈N，∴a＝1．此时方程化为：x2－5x＋3＝0，∴x＝2135；又－2＜x＜1，∴x＝2135．4．（本题满分13分）已知函数f（x）的定义域为全体实数，且对任意x1，x2∈R有f（x1）＋f（x2）＝2f（221xx）f（221xx）成立，又知f（a）＝0（a≠0，a为常数），但f（x）不恒等于0，求证：（1）f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；（2）f（x）是偶函数；（3）对任意x∈R，有f（2x）＝2f2（x）－1成立．【略解】（1）令x1＝x＋2a，x2＝x，由已知可得：f（x＋2a）＋f（x）＝2f（22xax）f（22xax）＝2f（x＋a）·f（a）＝0，∴f（x＋2a）＝－f（x），从而f（x＋4a）＝－f（x＋2a）＝f（x）．∴4a是f（x）的一个周期．（2）令x1＝x，x2＝－x，则f（x）＋f（－x）＝2f（0）f（x）再令x1＝x2＝x，则f（x）＋f（x）＝2f（x）f（0）．∴f（x）＋f（－x）＝f（x）＋f（x）．即f（－x）＝f（x）．∴f（x）是偶函数．（3）由2f（x）＝2f（x）f（0）且f（x）≠0，知f（0）＝1．令x1＝2x，x2＝0，则有f（2x）＋f（0）＝2f（x）f（x），即f（2x）＝2f2（x）－1得证．【点评】若函数f（x）对定义域内任意x满足f（x＋T）＝f（x）（T是一个不为零的常数），则f（x）是以T为周期的函数．有关周期函数的概念在本章教材中还没有涉及到．