第四章三角函数提高测试题二

高考网提高测试（二）（一）选择题（每题3分，共30分）1．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为”的（）．（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【提示】由于y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当a＝1时，函数的最小正周期为，当a＝－1时，函数的最小正周期也是，所以a＝1是函数的最小正周期为的充分而不必要条件．【答案】（A）．【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识．2．函数f（x）＝Msin（x＋）（＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）＝－M，f（b）＝M，则函数g（x）＝Mcos（x＋）在[a，b]上（）．（A）是增函数（B）是减函数（C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值－M【提示】利用特殊值法，令M＝＝1，＝0，则有f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，同时a＝－2π，b＝2π，可见，g（x）在[a，b]（即[－2π，2π]）上既不是增函数，也不是减函数，但可以取得最大值1，故排除（A）、（B）、（D）．本题也可以用作图法求解．【答案】（C）．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力．3．已知、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中成立的是（）．（A）cos＞sin，cos＞sin（B）cos＜sin，cos＜sin（C）cos＞sin，cos＜sin高考网（D）cos＜sin，cos＞sin【提示】、是锐角三角形的两个内角，所以＋＞90°，＞90°－，故有sin＞sin（90°－），cos＜cos（90°－），即sin＞cos，cos＜sin．【答案】（B）．【点评】本题考查诱导公式以及正弦函数、余弦函数的单调性．．下列不等式中正确的是（）．（）ecos52°＜ecos53°（B）)200(tanlog31＞)199(tanlog31（C）109tanπ＞110tanπ（D）115sin)32(＜116sin)32(【提示】利用函数的单调性．【答案】（A）．【点评】本题综合指数函数、对数函数的性质考查三角函数的单调性．由于cos52°＞cos53°，得ecos52°＞ecos53°，排除（A）；由于tan200°＝tan20°，tan199°＝tan19°，有tan20°＞tan19°，而0＜31＜1，得20tan31log＜19tan31log，排除（B）；由于109tan＜110tan，＞1，得109tanπ＜110tanπ，排除（C）；而sin115°＞sin116°，且0＜32＜1，有115sin)32(＜116sin)32(．故选（D）．5．设k是4的倍数加上1的自然数，若以cosx表示coskx时，有coskx＝f（cosx），则sinkx等于（）．（A）f（cosx）（B）f（sinx）（C）f（coskx）（D）f（sinkx）【提示】由于sin＝cos（2π－），设k＝4n＋1，（n＝0，1，2，…），则有高考网（sinx）＝f（cos（2π－））＝)2π(cosxk＝)]2π)(14cos[(xn＝cos[2n＋2π－（4n＋1）x]＝cos[2π－（4n＋1）x]＝sin[（4n＋1）x]＝sinkx．以上各步均可逆．【提示二】利用特殊值法，令k＝5，则f（cosx）＝cos5xsin5x．排除（A），f（cos5x）＝cos（5×5x）＝cos25xsin5x，排除（C），f（sin5x）＝f[cos（2π－5x）]＝)52π(5cosx＝cos（2π－25x）＝sin25xsin5x，排除（D），而f（sinx）＝f[cos（2π－x）]＝)2π(5cosx＝cos（2π－5x）＝sin5x．【答案】（B）．【点评】本题考查函数的概念，诱导公式以及分析问题、解决问题的能力．6．已知f（x）＝x1，则当（4π5，2π3）时，式子f（sin2）的值是（）．（A）2sin（B）2cos（C）－2sin（D）－cos【提示】f（sin2）－f（－sin2）＝2sin1－2sin1＝2)cos(sin－2)cos(sin＝|sin－cos－|sin＋cos，因为（4π5，2π3），得sin＜cos＜0，所以，原式＝cos－sin＋sin＋cos＝2cos．【答案】（B）．【点评】本题考查函数的概念，三角函数值符号、二倍角公式以及三角函数恒等变形的能力．高考网．已知sin＝53，（2π，），tan（－）＝21，则tan（－）的值等于（）．（A）247（B）－247（C）2425（D）－2425【提示】由sin＝53，∈（2π，），得cos＝－54，tan＝－43．又tan（－）＝21，得tan＝－21，tan2＝2tan1tan2＝－34．所以，tan（－）＝2tantan12tantan＝247．【答案】（A）．【点评】本题考查同角三角函数的关系，诱导公式、二倍角的正切公式，两角差的正切公式以及运算能力．8．要得到函数y＝cos（2x－4π），x∈R的图象，只需将函数y＝2sinx，x∈R的图象（）．（A）向左平行移动2π个单位长度（B）向右平行移动2π个单位长度（C）向左平行移动4π个单位长度（D）向右平行移动4π个单位长度【提示】由y＝cos（2x－4π）＝cos（4π－2x）＝)]24π(2πsin[x＝)4π2sin(x＝)]2π(21sin[x【答案】（A）．【点评】本题考查三角函数的图象和性质．注意：当由函数y＝xsin的图象得到函数y＝)(sinx的图象时，需将函数y＝xsin的图象上的所有点沿x轴平移个单位长度（当＜0时向左移，当＞0时向右移）．9．适合tan（2x＋3π）＝33，x∈π2,0的x值的个数是（）．（A）2（B）3（C）4（D）5高考网【提示】由tan（2x＋3π）＝33，得2x＋3π＝k＋6π（k∈Z），即x＝21k－12π（k∈Z），满足x∈π2,0时，k可取1，2，3，4，故x的值为125π，1211π，1217π，1223π共4个值．【答案】（C）．【点评】本题考查反正切函数的定义．10．若0＜＜2π，则arcsin[cos（2π＋）]＋arccos[sin（＋）]等于（）．（A）2π（B）－2π（C）2π－（D）－2π－【提示】用特殊值法，由0＜＜2π，取＝4π，则原式＝arcsin（－22）＋arccos（－22）＝－4π＋4π3＝2π．【答案】（A）．【点评】本题主要考查反正弦、反余弦的定义及解决问题的能力．（二）填空题（每题4分，共20分）1．若角的顶点与原点重合，其始边与x轴的非负半轴重合，角的平分线过点（－，），那么sin＝________，cos＝___________．【提示】角的终边与y轴的非正半轴重合，即＝2π3＋2k（k∈R）．【答案】－1，0【点评】本题考查三角函数的定义．2．函数y＝xxsin2sin的值域为__________．【提示一】化原函数为sinx＝yy12，由|sinx|1，得－1yy121，解之得－31y1．【提示二】运用“分离常数法”．y＝xxsin222sin＝－1＋xsin22，当sinx＝－1时，函数的最小值为－31；当x＝1时，最大值为1．【答案】[－31，1]．高考网【点评】本题考查三角函数的值域及其应用．3．对于正整数n，f（n）＝sinn＋cosn，若已知f（1）＝a（|sin＋cos|），则f（3）＝____________．【提示】f（1）＝sin＋cos＝a，于是，得sincos＝212a，从而f（3）＝sin3＋cos3＝a（1－212a）＝2)3(2aa．【答案】2)3(2aa．4．已知2π＜＜＜4π3，cos（－）＝1312，sin（＋）＝－53，则sin2的值为____．【提示】由2π＜＜＜4π3，得0＜－＜4π，＜＋＜2π3，根据cos（－）＝1312，有sin（－）＝135；根据sin（＋）＝－53，有cos（＋）＝－54，所以，sin2＝sin[（－）＋（＋）]＝sin（－）cos（＋）＋cos（－）sin（＋）＝135×（－54）＋（1312）×（－53）＝－6556．【答案】－6556．【点评】本题考查三角函数的和角公式、同角三角函数关系及运算能力．解题中运用了角的变换，注意到（＋）＋（－）＝2，得sin2＝sin[（＋）＋（－）]，用两角和的正弦公式就可以得出sin2的值，变换的思想是数学的基本思想．．函数y＝)cos(sinlog21xx是减函数的区间为__________．【提示】由y＝)cos(sinlog21xx＝)2sin21(log21x＝1＋x2sinlog21．利用对数函数的定义域，知sin2x＞0，得x∈（k，k＋2π）（k∈Z）．又y＝sin2x的递增区间为[－4π＋k，4π＋k]（k∈Z），而y＝sin2x的递增区间即为原函数的递减区间．高考网所以，原函数的递减区间为（k，k＋4π）（k∈Z）．【答案】（k，k＋4π）（k∈Z）．【点评】本题考查三角函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法．（三）解答题（每题10分，共50分）1．求值)212cos4(12sin312tan32．【提示】“切化弦”后，利用三角函数基础知识，可解．【答案】原式＝)212cos4(12sin312cos12sin32＝)212cos4(12cos12sin12cos312sin32＝24cos224sin21)60sin12cos60cos12(sin32＝48sin2148sin32＝－34【点评】本题考查灵活运用同角三角函数关系、两角差的正弦、二倍角公式及运算能力．2．已知0＜＜4π，4π＜＜43π，cos（4π－）＝53，sin（43π＋）＝135，求sin（＋）的值．【提示】用已知角表示所求角，注意到（43π＋）－（4π－）＝2π＋（＋），于是sin（＋）＝－cos[2π＋（＋）]＝－cos[（43π＋）－（4π－）]，只要求出sin（4π－），cos（43π＋）就可以了．高考网【答案】∵0＜＜4π，4π＜＜43π，∴－2π＜4π－＜0，43π＜4π3＋＜．