等差数列

高考网高一（上）数学单元同步练习第七单元等差数列[重点]等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。它刻划了“等差”的特点。2．通项公式：an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d0，表示an是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。3．前n项和公式：Sn=2)(1naan=na1+ndanddnn)2(22)1(12。若d0,表示Sn是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示Sn=na1.4．性质：①an=am+(n-m)d。②若m+n=s+t,则am+an=as+at。特别地；若m+n=2p,则am+an=2ap。5.方程思想：等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。[难点]等差数列前n项和公式的推导，通项和前n项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。如：an与sn关系：an=11nnsss21nn此公式适用于任何数列。化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。一、选择题1．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为（）（A）4（B）5（C）6（D）72．关于等差数列，有下列四个命题（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数（3）若数列{an}是等差数列，则数列{kan}也是等差数列（4）若数列{an}是等差数列，则数列{a2n}也是等差数列其中是真命题的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）43．在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为（）（A）m+n（B）)(21nm（C）)(21nm（D）04.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为（）（A）30（B）27（C）24（D）215．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为（）（A）4∶5（B）5∶13（C）3∶5（D）12∶13高考网．在等差数列{an}中，Sm=Sn,则Sm+n的值为（）（A）0（B）Sm+Sn（C）2(Sm+Sn)（D）)(21nmSS7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件8．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）（A）3、8、13、18、23（B）4、8、12、16、20（C）5、9、13、17、21（D）6、10、14、18、229．一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n的值为（）（A）9（B）12（C）16（D）9或1610．在等差数列{an}中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为（）（A）p+q（B）-(p+q)（C）p2-q2（D）p2+q211.已知等差数列{an}满足a1+a2+……+a99=0,则（）（A）a1+a990（B）a2+a980（C）a3+a97=0（D）a50=5012.若数列{an}为等差数列，公差为21，且S100=145，则a2+a4……+a100的值为（）（A）60（B）85（C）2145（D）其它值13．若a1,a2,……,a2n+1成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（）（A）4（B）5（C）9（D）1114．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（）（A）an=n2-n+1（B）an=n2+n-1（C）an=22nn（D）an=22nn15.已知数列{an}的前n项和为an2+bn+c，则该数列为等差数列的充要条件为（）（A）b=c=0（B）b=0（C）a0、c=0（D）c=016．已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为（）（A）200（B）-200（C）400（D）-40017．若数列{an}由a1=2,an+1=an+2n(n1)确定，则a100的值为（）（A）9900（B）9902（C）9904（D）990618．已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（）（A）4（B）5（C）6（D）719．已知等差数列{an}的公差为d,d0,a1d,若这个数列的前20项的和为S20=10M，则M等于（）（A）a4+a16（B）a20+d（C）2a10+d（D）a2+2a1020.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(ab)的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a+b的值为（）高考网（A）83（B）2411（C）2413（D）7231二、填空题1．数列{an}中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，则a2n=。2．在等差数列{an}中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8=。3．在等差数列{an}中，S4=6,S8=20,则S16=。4．在等差数列{an}中，S3=S8,S2=Sn,则n=。5．某露天剧场共有28排座位，第一排有24个，后一排比前一排增加两个座位，则全剧场共有座位个。6．成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为。7．打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用小时，打完这口井总共用小时。8．在等差数列{an}中，4a=4a，则当Sn最大时的n为。9.在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n=。10．已知数列{an}的通项公式an=nn21,bn=11nnaa,则{bn}的前n项和为。三、解答题1．已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。2．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列{a0}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列。3．设等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=nS1，且a3b3=21，S5+S3=21,求bn。4．已知数列{an}为首项a10，公差为d0的等差数列，求Sn=13221111nnaaaaaa。5．求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。高考网．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？7．已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。8.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列。(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和。第七单元等差数列一、选择题题号12345678910答案BBDBCADCAB题号11121314151617181920答案CBCCDBBBCD9．·n160°+180)2()5(2)1(nnn13.S奇=4,607512)(,2))(1(22121nnnSSaanSaannn求得则偶奇偶。14．a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…an-an-1=n,累加得an-a1=2+3+4+…+n,故an=2)1(nn18.an=4n-1(n35),bk=7k-5(k21),4n-1=7k-5,故4(n+1)=7k,由于4与7互质，令k=4t,t5,故n=7t-1,t=1,2,3,4,5时，出现公共项。20．四根之和为2，则四根为43,3141,6141,41。a=,14435)3141()6141(,1634341b得a+b=7231。二、填空题1.p+(2n-1)(q-p)2.143.724.95.14286.2,5,8,11或11,8,5,2。7。45,623。高考网．8或9a1+3d=-(a1+13d),得a1=-8d由001nnaa得080)1(8ndddnd9．10a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3（a1+an）=144,a1+an=48,求得Sn=2)(1naan=240,n=10。10．22)2121(4),2111(4,21,1221nnnbnbbSnnbnannnnn。三、解答题1．S50-S30=a31+a32+…+a50=)(10)(102)(2080150315031aaaaaa=30-50=-20。∴a1+a80=-2∴S80=802)(80801aa。2．当n=1时，a1=S1=1+c当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。∴an=121nc21nn若C=0，an=2n-1,此时an-an-1=2(n2){an}为等差数列。若C0,C+11,{an}不为等差数列。3．21223324552122331)2(1111dadadada②①由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。故a1=d=1。∴Sn=nnbnnn222,24.)11(1111nnnnaadaa∴Sn=111111132211)11(1)]11()11()11[(1nnnnnaaaadaadaaaaaad=)(11ndaan。高考网的所有整数之和。S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。S3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。则S=50502)1001(100。由99=3+（n-1）×3,得n=33。16832)993(331S。由100=5+(n-1)×5,得n=20。10502)1005(202SS3表示15，30，45，…，90之和S3=3152)9015(6从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1-S2+S3=2632。6.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an},则a1=50+1000×0.01=60a2=50+(1000-50)×0.01=60-0.5a3=50+(1000-50×2)×0.01=60-0.5×2类推,得a10=60-0.5×9=55.5an=60-0.5(n-1)(1n20)。∴付款数{an}组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为S20+150=125515010)192(1502)(201201daaa（元）。7．由S20=S10得2a1+29d=0d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31Sn=2)(1naan=-n2+30n=-