等比数列作业题

等比数列作业题1．在等比数列}{na中，3a和5a是二次方程052kxx的两个根，则642aaa的值为（）（A）55（B）55（C）55（D）252.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是（）A．15(0,)2B．15(,1]2C．15[1,)2D．)251,251(3.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于（）A.210B.220C.216D.2154.已知na是等比数列，41252aa，，则12231nnaaaaaa.A1614n.B1612n.C32143n.D32123n5.若实数a、b、c成等比数列，则函数2yaxbxc与x轴的交点的个数为（）.A0.B1.C2.D无法确定6.等比数列na前n项的和为21n，则数列2na前n项的和为______________。7.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），则它的通项公式an=___________________.8.（2004年全国，文14）已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________.9.设na为公比1q的等比数列，若2004a和2005a是方程24830xx的两根，则20072006aa__________。10.某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.11.设na是由正数组成的等比数列，公比2q，且30123302aaaa，则36930aaaa__________。12.设两个方程210xax、210xbx的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab________。13.数列na为各项均为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项和为6560，求首项1a和公比q。14.（1）已知na为等比数列，32a，24203aa，求na的通项公式。（2）记等比数列na的前n项和为nS，已知166naa，43128naa，126nS，求n和公比q的值。15.已知数列na，其中23nnna，且数列1nnaa（为常数）为等比数列，求常数。16.设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnncab，证明数列nc不是等比数列。17.设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（1）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（2）求na的通项公式。18.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a2和q来表示其他的量好解吗？该题的{an}若成等差数列呢？19.已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：a1k，a2k，…，ank，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得ank，然后列方程求得kn.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：ank是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.20.等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an.21.数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n.（1）设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.22.数列{an}中，a1=1，an=21an－1+1（n≥2），求通项公式an.23.已知数列{an}中，a1=65，a2=3619并且数列log2（a2－31a），log2（a3－32a），…，log2（an+1－3na）是公差为－1的等差数列，而a2－21a，a3－22a，…，an+1－2na是公比为31的等比数列，求数列{an}的通项公式.分析：由数列{log2（an+1－3na）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式①；由数列{an+1－2na}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an+1与an的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出an.24.从盛满aL（a＞1）纯酒精容器里倒出1L，然后再用水填满，再倒出1L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.25.数列na的前n项和为nS，已知11a，12(123)nnnaSnn，，，…，证明：数列nSn是等比数列．26.已知数列lgna是一个等差数列，第p项等于q，第q项等于()ppq，试判断数列na是否为等比数列，若是，写出其通项公式．27.已知在数列na中，123aaa，，成等差数列，234aaa，，成等比数列，345aaa，，的倒数成等差数列，证明：135aaa，，成等比数列．28.已知数列na的前n项和nnSab（ab，为常数且01a，），问na是等比数列吗？若是，写出通项公式；若不是，说明理由．等比数列作业题参考答案1、【答案】A解析：根据韦达定理，有553aa，又因为5536224aaaaa，则54a，所以55642aaa。2、【答案】D设三边为2,,,aaqaq则222aaqaqaaqaqaqaqa，即222101010qqqqqq得1515221515,22qqRqq或，即151522q3、解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（qa3）3，故a1·a2·a3·…·a30=（1030963qaaaa）3.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220.答案：B4、C解析：等比数列na的公比53321182aqa，显然数列1nnaa也是等比数列，其首项为222122812aaaq，公比2211111124nnnnnnaaaqqaaa，12231181432141314nnnnaaaaaa。5、A解析：a、b、c成等比数列，2bac，二次函数2yaxbxc的判别式22430bacb，从而函数与x轴无交点。6、【答案】413n11212111421,21,2,4,1,4,14nnnnnnnnnnSSaaaqS7、解析：分解因式可得［（n+1）an+1－nan］·［an+1+an］=0，又an＞0，则（n+1）an+1－nan=0，即nnaa1=1nn.又a1=1，由累积法可得an=n1.答案：n18、解析：由已知得q7=aa10=128=27，故q=2.∴an=a3·qn－3=3·2n－3.答案：3·2n－39、18解析：24830xx的两根分别为12和32，1q，从而200412a、200532a，200520043aqa。2220062007200420052318aaaaq。10、解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，∴S5=1.11)1.11(1.15a=11×（1.15－1）a.答案：11×（1.15－1）a11、202解析：1530123301302aaaaaa，213024aa，55552105102036930330132130130422aaaaaaaaaaqaaq。12、274解析：设该等比数列为1x、2x、3x、4x，1423xxxx2321181xqx，111822x，从而212x、32x、422x，11272224222ab。13、解：若1q，则应有22nnSS，与题意不符合，故1q。依题意有：121180(1)116560(2)1nnaqqaqq(2)(1)得21821nnqq即282810nnqq得81nq或1nq（舍去），81nq。由81nq知1q，数列na的前n项中na最大，得54na。将81nq代入（1）得11aq（3），由1154nnaaq得154naqq，即18154aq（4），联立（3）（4）解方程组得123aq。14、解：（1）设等比数列na的公比为q（0q），24203aa，则33203aaqq，即22023qq也即1103qq，解此关于q的一元方程得13q或3q。33nnaaq，3312233nnna或323nna。（2）在等比数列na中，有431128nnaaaa，又166naa，联立解得1264naa或1642naa，由此知1q，而11261nnaaqSq，从而解得26qn或126qn。15、解：1nnaa为等比数列，那么21211nnnnnnaaaaaa，将23nnna代入并整理得1(2)(3)2306nn，解之得2或3。16、17、解：（1）证明：由题意知12a，且21nnnbabS，11121nnnbabS两式相减得1121nnnnbaaba，即12nnnaba①当2b时，由①知122nnnaa，于是1122212nnnnnanan122nnan又111210na，所以12nnan是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当2b时，由（1）知1122nnnan，即112nnan；当2b时，由①得1111122222nnnnnababb22nnbbab122nnbab11112222nnnnababb212nbbb121122222nnnnabbnb18、解：设{an}的公比为q，由题意知,8,721112111qaqaaqaqaa解得2,11qa或.21,41qa∴an=2n－1或an=23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.19、剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得ank，然后列方程求得kn.解：设｛an｝的首项为a1，∵a1k、a2k、a3k成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.得a1＝2d，q＝12kkaa＝3.∵ank＝a1＋（kn－1）d，又ank＝a1·3n－1，∴kn＝2·3n－1－1.∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n＝2×3131n－n＝3n－n－1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时