算法与随机事件的概率复习题

高考网算法算法解题的一般思路，即算法分析（提炼问题的数学本质）——画出程序框图——按框图编写成程序语言——运行调试，改进程序。总的来说，就是发现规律结合所掌握算法，通过模仿，操作，探索，寻找解决问题的通法。一、满足方程的一组正整数称为勾股数或商高数，设计计算某一范围内的勾股数的算法．例1．设计一个程序，求出不等式4800Inxx的所有正整数解，并显示出来。分析：因为相应函数4yInxx在0,上是增函数。所以若有正整数x满足不等式4800Inxx，则所有小于x的正整数也都是该不等式的解。因此，我们可以设计一个算法，逐个检验1、2、3、……是否为该不等式的解，一直检验到第一个不满足该不等式的正整数M出现，则可以结束程序。因为根据函数4yInxx的单调性，只要4800InMM，则4()()800InMnMn（nZ），即大于或等于M的正整数都不是4800Inxx的解。⑴具体算法步骤：第一步：初始化x=1第二步：判断x是否为不等式4800Inxx的解。是则输出，并执行第三步；否则结束程序。第三步：x=x+1,返回第二步。⑵程序框图：x=14800Inxx？输出xx=x+1结束YN开始高考网⑶程序：二、用算法求任意平面图形的面积以前我们在平面几何所遇到的面积、周长问题，都是在规则图形中根据给定的面积、周长公式求解。实际上，当我们初步学习算法之后，我们可以结合无限分割的思想，自己编写程序来计算任意平面图形（包括规则及不规则图形）的面积、周长。例2．设计算法求圆的面积。⑴具体算法步骤如下：第一步：将半径为r的圆分成n全等的扇形。第二步：当正整数n大到一定程度时，可以将扇形近似地看成一个等腰三角形。顶角2nha可得该三角形底边上的高coshrn所以扇形对应弦长2sinarn第三步：扇形的面积近似地看作三角形的面积2扇形三角形1cos2sincossin2SSrrrnnnn第四步：圆的面积为2cossinSnrnn⑵程序框图：x=1whileEXP(x)+x^4800printxx=x+1wendend高考网⑶程序：例3．设计算法，求曲线21lgyxx，直线0.5x、5x和x轴围成的图形面积。分析：计算不规则图形的面积，也可以利用无限分割的思21lgyxx想来寻找算法。首先将x轴上0.5～5这段线段n等分，然后过每个n等分点作垂直与x轴的直线，则将所求图形分为n个近似于梯形的图形。那我们就可以把所求图形面积看成是这n个梯形的面积之和。开始输入圆的半径r及n的值输出2cossinSnrnn结束Input“请输入圆的半径长”;rInput“请输入分割份数n”;nPrint“该圆的面积为：”;n*r^2*cos(3.14/n)*sin(3.14/n)End高考网⑴具体算法步骤如下：第一步：输入正整数n。s=0第二步：从左到右逐个计算这些小梯形的面积，并逐个加到s。第三步：输出s。⑵程序框图：开始输入ns=0，i=1，h=(5-0.5)/n，p=0.5i=n?b=log(p+h)+1/(p+h)^2a=log(p)+1/p^2s=s+(a+b)/2*ha=b，i=i+1，p=p+h输出s结束YN高考网⑶程序：三、算法在实际生活中的应用例4．一辆邮车依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…Am（,2mNm），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个，设aｎ是邮车从第ｎ个（1≤n＜m，n∈N*）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求aｎ.分析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I从1至ｎ时，aｎ的变化。⑴程序框图：Input“请输入一个正整数n”;ns=0i=1h=(5-0.5)/np=0.5a=log(p)+1/p^2whilei=nb=log(p+h)+1/(p+h)^2s=s+(a+b)/2*ha=bi=i+1p=p+hwendprint“所求面积为”;sEND高考网⑵程序：开始输入m，nmn?显示“输入错误”！s=m，i=1i=n？s=s-(i-1)+(m-i)i=i+1输出s结束YYNNInputm,nIfmnthenPrint“错误！ｍ必须大于或等于ｎ”Elses=mi=1Whilei=ns=s-(i-1)+(m-i)i=i+1wendEndIfPrintsEnd高考网、下面请同学们两人一组做一试验：每组抛掷硬币20次，并统计正、反面次数.统计每组正面向上次数如下：12，9，11，13，8，10，11，12，9，13，7，12，10，13，11，11，8，10，14，9，7，12，6，8，7.那么，在抛掷硬币试验中，出现正面的次数占总次数的百分比为多少呢？或者说，出现正面的频率为多少？总试验次数为500次，出现正面的次数为253次，出现正面的频率为0.506.请同学们来看这样一组数据：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，这便是试验结果.大家从这组数据中，是否可获得什么结论呢？抛掷硬币试验结果表抛掷次数(n)正面向上次数(频数m)频率(nm)20484040120002400030000720881061204860191201214984361240.51810.50690.50160.50050.49960.5011出现正面的频率值都接近于0.5.再请同学们看这样两组数据，某批乒乓球产品质量检验表抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率nm0.90.920.970.940.9540.951某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表每批粒数n251070130310700150020003000发芽粒数m24960116282639133918062715发芽频率nm10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905从表2可看到,当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于0.95.从表3可看到,当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率接近于0.9.随机事件在一试验中是否发生虽然不能事先确定，但随着试验次数的不断增加，它的发生会呈现出一定的规律性，正如我们刚才看到的：某事件发生的频率在大量高考网重复的试验中总是接近于某个常数.一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).如上：记事件A为抛掷硬币时“正面向上”.则P(A)=0.5，即：抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率是0.5.例2、若记事件A为抽取乒乓球试验中出现优等品，则P(A)=0.95，即：任取一乒乓球得到优等品的概率是0.95.若记事件A：油菜籽发芽，则P(A)=0.9,即任取一油菜籽，发芽的概率为0.9.概率这一常数从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.如上：抛掷一枚硬币出现“正面向上”的可能性是50%；任取一乒乓球得到优等品的可能性是95%；任取一油菜籽，发芽的可能性是90%.上述有关概率的定义，也就是求一个事件的概率的基本方法：进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.即：若记随机事件A在n次试验中发生了m次，则有0≤m≤n,0≤nm≤1.于是可得：0≤P(A)≤1.显然：（1）必然事件的概率是1，（2）不可能事件的概率是0.例3、抛掷一个骰子，它落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？［分析］由于骰子落地时向上数可能有1，2，3，4，5，6六种情形，其中向上的数为3，6，这2种情形之一出现时，“向上的数是3的倍数”，这一事件（记作事件A）发生，因此事件A的发生包含的结果有2个.解：记事件A为“向上的数是3的倍数”.则事件A包含两个基本事件，即“向上的数是3”和“向上的数为6”.且由题意得每一基本事件的概率均为61.因此，事件A的概率为：P(A)=2163.评述：如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)=nm.也可理解为：在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数（记作card(A)）与集合I的元素个数（记作card（I））的比值，即：P(A)=.)(card)(cardnmIA如，上述骰子落地时向上的数是3的倍数，这一事件A的概率高考网(A)=.3162)(card)(cardIA例4、.先后抛掷2枚均匀的硬币.（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？（3）出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？（4）有人说，“一共可能出现‘2枚正面’‘2枚反面’‘一枚正面，1枚反面’这3种结果，因此出现‘1枚正面，1枚反面’的概率是31.”这种说法对不对？[分析]由于是先后抛掷2枚均匀的硬币，所以在考查试验结果时，要分第一枚与第二枚不同的结果，然后再加以组合.解：（1）由题意可知，可能出现的结果有：“第1枚正面，第2枚正面”；“第1枚正面，第2枚反面”；“第1枚反面，第2枚正面”；“第1枚反面，第2枚正面”.即：一共可能出现“2枚正面”“2枚反面”“第1枚正面，第2枚反面”“第1枚反面，第2枚正面”四种不同的结果.（2）由（1）得出现“1枚正面，1枚反面”的结果有“第1枚正面，第2枚反面”与“第1枚反面，第2枚反面”2种.（3）由于此试验一共可能出现4种结果.而且每种结果出现的可能性是相等的，而出现“1枚正面，1枚反面”包含两种结果，所以其发生的概率为42，即21.（4）这种说法不对，这是因为“1枚正面，1枚反面”这一事件由2个试验结果组成，这一事件发生的概率是21而不是31.评述：要仔细分析试验的条件以及结果的出现类型.例5、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？（3）摸出2个黑球的概率是多少？[分析]由题意可知袋中装有4个不同的球，从中任取2球的结果数即为从4个不同的元素中任取2元素的组合数；摸出2个黑球的结果数即为从3个不同的元素中任取2元素的组合数，且每种结果出现的可能性是相等的，即为等可能性事件.解：（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有：C24=6种不同的结果，即高考网个元素.∴共有6种不同的结果.（2）从3个黑球中摸出2个球，共有C23=3种不同的结果，这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A，如图：∴从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果.（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，又在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，因此从中摸出2个黑球的概率P(A)=2163.∴从口袋内摸出2个黑球的概率是21.评述：仔细分析事件，灵活应用排列和组合知识解决问题.例6、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的