课时提升作业十一33

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十一排序不等式一、选择题(每小题4分,共12分)1.若0a1a2,0b1b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.【解析】选A.因为0a1a2,0b1b2,由排序不等式可知a1b1+a2b2最大.2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则a1+a2+…+an的最小值为()A.1B.nC.n2D.无法确定【解析】选B.因为a1,a2,…,an都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤an,则≤≤…≤.由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1+a2+…+an≥a1·+a2·+…+an·=n,即a1+a2+…+an的最小值为n.3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解.【解析】选B.设a≥b≥c0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得:a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·梅州高二检测)若a0,b0且a+b=1,则+的最小值是________.【解析】不妨设a≥b0,则有a2≥b2,且≥,由排序不等式+≥·a2+·b2=a+b=1.当且仅当a=b=时取等号,所以+的最小值为1.答案:15.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是________.【解析】由题意不妨设a≥b0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.三、解答题6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得,a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3,a2c+b2a+c2b≤a3+b3+c3,两式相加,得:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x≥y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则M与N的大小关系是()A.MNB.M≥NC.MND.M≤N【解析】选B.由排序不等式,知M≥N.2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,xn均为正数,A=++…+,B=x1x2+x2x3+…+xnx1.则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.A≥BD.A≤B【解析】选C.因为x1,x2,…,xn均为正数,不妨设x1≤x2≤…≤xn,根据排序不等式,得++…+≥x1x2+x2x3+…+xnx1.即A≥B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值是________.【解析】不妨设a≥b≥c0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3.答案:34.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,an为正数,且a1+a2+…+an=5,则++…++的最小值为________.【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0a1≤a2≤…≤an,所以≤≤…≤,≥≥…≥,而,,…,,为,,,…,的一个排列,由乱序和≥反序和,得·+·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+…+an=5,故所求最小值为5.答案:5三、解答题5.(10分)设x0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.【解题指南】题中只给出了x0,但是对于x≥1,x1并不确定,因此,需要分类讨论.【证明】(1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理知,1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥xn·1+xn-1·x+…+1·xn,所以1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①又因为x,x2,…,xn,1为1,x,x2,…,xn的一个排序,于是由排序原理得1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1.所以x+x3+…+x2n-1≥nxn.②①+②,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.(2)当0x1时,1xx2…xn,同理可得结论.综合(1)与(2),所以当x0时,1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.【补偿训练】设a1,a2,…,an为实数,证明:≤.【证明】不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an由排序原理得+++…+=a1a1+a2a2+a3a3+…+anan.+++…+≥a1a2+a2a3+a3a4+…+ana1+++…+≥a1a3+a2a4+a3a5+…+ana2……+++…+≥a1an+a2a1+a3a2+…+anan-1以上n个式子两边相加n(+++…+)≥(a1+a2+a3+…+an)2两边同除以n2得≥所以≥结论得证.关闭Word文档返回原板块