贵州省20182019学年遵义市高一上学期期末考试数学试题

a贵州省遵义市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集𝑈={1,2，3，4，5}，集合𝐴={1,3，4}，集合𝐵={2,4}，则(∁𝑈𝐴)∪𝐵为()A.{2,4，5}B.{1,3，4}C.{1,2，4}D.{2,3，4，5}【答案】A【解析】解：∵全集𝑈={1,2，3，4，5}，集合𝐴={1,3，4}，∴∁𝑈𝐴={2,5}，∵𝐵={2,4}，∴(∁𝑈𝐴)∪𝐵={2,4，5}．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.cos600∘=()A.−12B.√32C.12D.−√32【答案】A【解析】解：cos600∘=cos(−120∘)=cos120∘=−12；故选：A．利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．本题是基础题，考查三角函数的求值，注意正确应用诱导公式是解题的关键．3.已知角𝛼的终边经过点𝑃(4,−3)，则2sin𝛼+cos𝛼的值等于()A.−35B.45C.25D.−25【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，sin𝛼=𝑦𝑟=−3√16+9=−35，cos𝛼=𝑥𝑟=45∴2sin𝛼+cos𝛼=2×(−35)+45=−25故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算sin𝛼和cos𝛼，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题4.函数𝑦=1log2(𝑥−2)的定义域为()A.(−∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{log2(𝑥−2)≠0𝑥−20，解得：2𝑥3，或𝑥3所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：C．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．5.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−4，在下列区间中包含𝑓(𝑥)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【答案】B【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−4，是连续函数，𝑓(1)=−10，𝑓(2)=20，根据零点存在定理，∵𝑓(1)⋅𝑓(2)0，∴函数在(1,2)存在零点，故选：B．要判断函数𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−4，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)上存在一个零点，则𝑓(𝑎)⋅𝑓(𝑏)0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，要分类讨论．6.为了得到函数𝑦=sin(2𝑥−𝜋3)的图象，只需把函数𝑦=sin2𝑥的图象上所有的点()A.向左平行移动𝜋3个单位长度B.向右平行移动𝜋3个单位长度C.向左平行移动𝜋6个单位长度D.向右平行移动𝜋6个单位长度【答案】D【解析】解：把函数𝑦=sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度，可得函数𝑦=sin2(𝑥−𝜋6)=sin(2𝑥−𝜋3)的图象，故选：D．由条件根据函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．7.已知向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗满足|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=2，𝑐⃗=𝑎⃗⃗+𝑏⃗，𝑐⃗⊥𝑎⃗⃗，则𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角等于()A.120∘B.60∘C.30∘D.90∘【答案】A【解析】解：∵𝑐⃗⊥𝑎⃗⃗，𝑐⃗=𝑎⃗⃗+𝑏⃗，∴(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⋅𝑎⃗⃗=0∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=−|𝑎⃗⃗|2=−1cos𝑎⃗⃗,𝑏⃗  =𝑎⃗⃗𝑏⃗|𝑎⃗⃗⃗||𝑏⃗|=−12∴𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角等于1200故选：A．要求夹角，就要用到数量积，所以从𝑐⃗⊥𝑎⃗⃗入手，将𝑐⃗=𝑎⃗⃗+𝑏⃗，代入，求得向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的数量积，再用夹角公式求解．本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式，数量积是向量中的重要运算之一，是向量法解决其他问题的源泉．8.设𝑎=20.3，𝑏=0.32，𝑐=log20.3，则a，b，c的大小关系是()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑐𝑎C.𝑐𝑎𝑏D.𝑐𝑏𝑎【答案】D【解析】解：∵00.321log20.3020.31∴log20.30.3220.3，即𝑐𝑏𝑎故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．9.若扇形的圆心角是𝜋3，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为()A.1：2B.1：3C.2：3D.3：4【答案】C【解析】解：∵扇形的圆心角是𝜋3，半径为R，∴𝑆扇形=12𝑙𝑅=𝜋𝑅26∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴几何知识，𝑟+2𝑟=𝑅，所以内切圆的半径为𝑅3，∴𝑆圆形=𝜋𝑅29，∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为𝜋𝑅29：𝜋𝑅26=23故选：C．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键．10.如果偶函数𝑓(𝑥)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2，那么𝑓(𝑥)在(−∞,0]上是()A.减函数且最小值是2B.减函数且最大值是2C.增函数且最小值是2D.增函数且最大值是2【答案】A【解析】解：∵偶函数𝑓(𝑥)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2，由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知，𝑓(𝑥)在(−∞,0]上是减函数且最小值是2．故选：A．直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．11.已知𝑓(𝑥)=sin(2017𝑥+𝜋6)+cos(2017𝑥−𝜋3)的最大值为A，若存在实数𝑥1，𝑥2使得对任意实数x总有𝑓(𝑥1)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(𝑥2)成立，则𝐴|𝑥1−𝑥2|的最小值为()A.𝜋2017B.2𝜋2017C.4𝜋2017D.𝜋4034【答案】B【解析】解：𝑓(𝑥)=sin(2017𝑥+𝜋6)+cos(2017𝑥−𝜋3)=sin2017𝑥cos𝜋6+cos2017𝑥sin𝜋6+cos2017𝑥cos𝜋3+sin2017𝑥sin𝜋3=√32sin2017𝑥+12cos2017𝑥+12cos2017𝑥+√32sin2017𝑥=√3sin2017𝑥+cos2017𝑥=2sin(2017𝑥+𝜋6).或𝑓(𝑥)=sin(2017𝑥+𝜋6)+cos(2017𝑥−𝜋3)=sin(2017𝑥+𝜋6)+cos(𝜋3−2017𝑥)=2sin(2017𝑥+𝜋6).∴𝑓(𝑥)的最大值为𝐴=2；由题意得，|𝑥1−𝑥2|的最小值为𝑇2=𝜋2017，∴𝐴|𝑥1−𝑥2|的最小值为2𝜋2017．故选：B．根据题意，利用三角恒等变换化简函数𝑓(𝑥)的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出𝐴|𝑥1−𝑥2|的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．12.定义一种运算𝑎⊗𝑏={𝑏,𝑎𝑏𝑎,𝑎≤𝑏，若𝑓(𝑥)=2𝑥⊗|𝑥2−4𝑥+3|，当𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有5个零点时，则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.[0,1]C.(1,3)D.[1,3]【答案】A【解析】解：由题意，𝑓(𝑥)=2𝑥⊗|𝑥2−4𝑥+3|，其图象如下：结合图象可知，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有5个零点时，实数m的取值范围是(0,1)，故选：A．画出𝑓(𝑥)=2𝑥⊗|𝑥2−4𝑥+3|，图象，结合图象可知，求解𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有5个零点时m的取值.，本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+3𝑚+1)⋅𝑥𝑚2+𝑚−1是幂函数，且其图象过原点，则𝑚=______．【答案】−3【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=(𝑚2+3𝑚+1)⋅𝑥𝑚2+𝑚−1是幂函数，且其图象过原点，∴𝑚2+3𝑚+1=1，且𝑚2+𝑚−10，∴𝑚=−3．故填−3．由已知知函数是幂函数，则其系数必定是1，即𝑚2+3𝑚+1=1，结合图象过原点，从而解出m的值．本题考查幂函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用幂函数的图象，掌握图象的性质：当指数大于0时，图象必过原点.需结合函数的图象加以验证．14.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥2+1是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且𝑓(12)=−25，则𝑓(1)=______．【答案】12【解析】解：(Ⅰ)∵函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏1+𝑥2是定义在(−1,1)上的奇函数，∴𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，即−𝑎𝑥+𝑏1+𝑥2=−𝑎𝑥+𝑏1+𝑥2，∴−𝑎𝑥+𝑏=−𝑎𝑥−𝑏，∴𝑏=0，∵𝑓(12)=25，∴12𝑎1+(12)2=25，解得𝑎=1，∴𝑓(𝑥)=𝑥1+𝑥2，∴𝑓(1)=11+12=12．故答案为：12．由题意可得，𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，代入可求b，然后由且𝑓(12)=25可求a，进而可求函数解析式；本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．15.△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心为O，半径为1，若𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，且|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|，则𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=______．【答案】1【解析】解：△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心为O，且𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，∴𝑂为BC的中点，故△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝑂|=1，∴△𝐴𝐵𝑂为等边三角形，∠𝐵=13𝜋，则𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1×2×12=1．故答案为：1．由△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心为O满足𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，可知O为BC的中点，且△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量基本定理，向量的数量积的定义的应用，解题的关键是找到△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件．16.若sin(𝜋6+𝛼)=13，则cos(2𝜋3−2𝛼)=______【答案】−79【解析】解：sin(𝜋6+𝛼)=13，∴cos[𝜋2−(𝜋6+𝛼)]=cos(𝜋3−𝛼)=13，∴cos(2𝜋3−2𝛼)=2cos2(𝜋3−𝛼)−1=2×19−1=−79．故答案为：−79．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3)，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,−1)