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贵州省遵义市2018-2019学年度第一学期期末统考高二文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+1=0平分的直线是()A.𝑥+𝑦−1=0B.𝑥+𝑦+3=0C.𝑥−𝑦+1=0D.𝑥−𝑦+3=0【答案】C【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=4，可得出圆心坐标为(1,2)，将𝑥=1，𝑦=2代入A选项得：𝑥+𝑦−1=1+2−1=2≠0，故圆心不在此直线上；将𝑥=1，𝑦=2代入B选项得：𝑥+𝑦+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将𝑥=1，𝑦=2代入C选项得：𝑥−𝑦+1=1−2+1=0，故圆心在此直线上；将𝑥=1，𝑦=2代入D选项得：𝑥−𝑦+3=1−2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线𝑥−𝑦+1=0将圆平分．故选：C．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．2.设命题p：∀𝑥∈𝑅，𝑥2+10，则￢𝑝为()A.∃𝑥0∈𝑅，𝑥02+10B.∃𝑥0∈𝑅，𝑥02+1≤0C.∃𝑥0∈𝑅，𝑥02+10D.∀𝑥∈𝑅，𝑥2+1≤0【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀𝑥∈𝑅，𝑥2+10，则￢𝑝为：∃𝑥0∈𝑅，𝑥02+1≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．3.下列四个结论：①两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：①两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；④一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．在①中，根据线面垂直的性质，可得正确；在②没有公共点的两条直线平行或异面；在③中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；④根据线面平行的定义可以判断．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.若扇形的面积为3𝜋8、半径为1，则扇形的圆心角为()A.3𝜋2B.3𝜋4C.3𝜋8D.3𝜋16【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为𝛼，则∵扇形的面积为3𝜋8、半径为1，∴3𝜋8=12𝛼⋅12，∴𝛼=3𝜋4，故选：B．利用扇形的面积公式，即可求得结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.过点(2,−2)且与双曲线𝑥22−𝑦2=1有相同渐近线的双曲线的方程是()A.𝑥24−𝑦22=1B.𝑦22−𝑥24=1C.𝑥22−𝑦24=1D.𝑦24−𝑥22=1【答案】B【解析】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是𝑥22−𝑦2=𝑘，∵点𝑃(2,−2)在双曲线方程上，所以222−(−2)2=𝑘，∴𝑘=−2，故所求的双曲线方程是𝑦22−𝑥24=1，故选：B．设所求的双曲线方程是𝑥22−𝑦2=𝑘，由点𝑃(2,−2)在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是𝑥22−𝑦2=𝑘，属于基础题．6.一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于()A.39𝜋B.48𝜋C.57𝜋D.63𝜋【答案】B【解析】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是√32+42=5，∴剩余部分的表面积𝑆=𝜋×32+2𝜋×3×4+𝜋×3×5=48𝜋，故选：B．根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.已知点𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2)，𝑃3(𝑥3,𝑦3)是抛物线𝑦2=4𝑥(𝑦0)上的三点，其中𝑥1𝑥2𝑥3，则𝑎=log12𝑦1，𝑏=log12𝑦2，𝑐=log12𝑦3大小关系为()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑎𝑐𝑏D.𝑐𝑎𝑏【答案】A【解析】解：∵点𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2)，𝑃3(𝑥3,𝑦3)是抛物线𝑦2=4𝑥(𝑦0)上的三点，其中𝑥1𝑥2𝑥3，∴𝑦1𝑦2𝑦3．∵𝑦=log12𝑥在(0,+∞)上是减函数，𝑎=log12𝑦1，𝑏=log12𝑦2，𝑐=log12𝑦3，故有𝑎𝑏𝑐，故选：A．由题意利用对数函数的单调性可得𝑦1𝑦2𝑦3，从而得出𝑎𝑏𝑐．本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．8.设x，𝑦∈𝑅，𝑎⃗⃗=(𝑥,𝑦−1)，𝑏⃗=(3,4)，且𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，则点(−4,0)到点(𝑥,𝑦)的最短距离是()A.2B.3C.125D.165【答案】D【解析】解：∵𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=0，即3𝑥+4𝑦−4=0，∴𝑦=4−3𝑥4．∴点(−4,0)到点(𝑥,𝑦)的距离为𝑑=√(𝑥+4)2+𝑦2=√25𝑥216+13𝑥2+17=√(5𝑥4+135)2+25625≥165．故选：D．根据𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=0得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，属于中档题．9.入射光线l从𝑃(2,1)出发，经x轴反射后，通过点𝑄(4,3)，则入射光线l所在直线的方程为()A.𝑦=0B.𝑦=12(𝑥+5)C.𝑦=2𝑥+5D.𝑦=−2𝑥+5【答案】D【解析】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点𝑄′(4,−3)在入射光线所在的直线上，故入射光线l所在直线𝑃𝑄′的方程为：𝑦−1𝑥−2=1+32−4，化简可得𝑦=−2𝑥+5，故选：D．求得点Q关于x轴的对称点的坐标，再用两点式求得入射光线所在的直线的方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．10.“∀𝑛∈𝑁∗，𝑎𝑛+12=𝑎𝑛𝑎𝑛+2”是“数列{𝑎𝑛}为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若𝑎𝑛=0，则满足𝑎𝑛+12=𝑎𝑛𝑎𝑛+2，但数列{𝑎𝑛}不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列{𝑎𝑛}为等比数列，则∀𝑛∈𝑁∗，𝑎𝑛+12=𝑎𝑛𝑎𝑛+2，成立，即必要性不成立，即“∀𝑛∈𝑁∗，𝑎𝑛+12=𝑎𝑛𝑎𝑛+2”是“数列{𝑎𝑛}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．11.已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面边长都相等，𝐴1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与𝐶𝐶1所成的角的余弦值为()A.√34B.√54C.√74D.34【答案】D【解析】解：设BC的中点为D，连接𝐴1D、AD、𝐴1𝐵，易知𝜃=∠𝐴1𝐴𝐵即为异面直线AB与𝐶𝐶1所成的角；并设三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面边长为1，则|𝐴𝐷|=√32，|𝐴1𝐷|=12，|𝐴1𝐵|=√22，由余弦定理，得cos𝜃=1+1−122=34．故选：D．首先找到异面直线AB与𝐶𝐶1所成的角(如∠𝐴1𝐴𝐵)；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出𝐴1𝐵的长度即可；不妨设三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．12.已知抛物线C：𝑦2=8𝑥的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|𝐴𝐾|=√2|𝐴𝐹|，则△𝐴𝐹𝐾的面积为()A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】解：∵抛物线C：𝑦2=8𝑥的焦点为𝐹(2,0)，准线为𝑥=−2∴𝐾(−2,0)设𝐴(𝑥0,𝑦0)，过A点向准线作垂线AB，则𝐵(−2,𝑦0)∵|𝐴𝐾|=√2|𝐴𝐹|，又𝐴𝐹=𝐴𝐵=𝑥0−(−2)=𝑥0+2∴由𝐵𝐾2=𝐴𝐾2−𝐴𝐵2得𝑦02=(𝑥0+2)2，即8𝑥0=(𝑥0+2)2，解得𝐴(2,±4)∴△𝐴𝐹𝐾的面积为12|𝐾𝐹|⋅|𝑦0|=12×4×4=8故选：B．根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设𝐴(𝑥0,𝑦0)，过A点向准线作垂线AB，则𝐵(−2,𝑦0)，根据|𝐴𝐾|=√2|𝐴𝐹|及𝐴𝐹=𝐴𝐵=𝑥0−(−2)=𝑥0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△𝐴𝐹𝐾的面积．本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△𝐴𝐵𝐾中集中条件求出𝑥0是关键；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23𝜋的扇形，则此圆锥的体积为______．【答案】2√23𝜋【解析】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120∘半径为3的扇形∴圆锥的母线长为𝑙=3，底面周长即扇形的弧长为2𝜋3×3=2𝜋，∴底面圆的半径𝑟=1，可得底面圆的面积为𝜋×𝑟2=𝜋又圆锥的高ℎ=√𝑙2−𝑟2=√9−1=2√2故圆锥的体积为𝑉=13×𝜋×2√2=2√23𝜋，故答案为：2√23𝜋．由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为2𝜋3，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由ℎ=√𝑙2−𝑟2求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．14.直线l垂直于3𝑥+4𝑦−1=0，且平分圆C：𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+4=0，则直线l的方程为______．【答案】4𝑥−3𝑦+10=0【解析】解：根据题意，直线l垂直于3𝑥+4𝑦−1=0，设直线l的方程为4𝑥−3𝑦+𝑚=0，圆C：𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+4=0的圆心C为(−1,2)，若直线l平分圆C：𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+4=0，则直线l经过圆心C，则有4×(−1)−3×2+𝑚=0，解可得𝑚=10；则直线l的方程为4𝑥−3𝑦+10=0；故答案为：4𝑥−3𝑦+10=0．根据题意，设直线l的方程为4𝑥−3𝑦+𝑚=0，分析圆C的圆心，分析可得直线l经过圆心C，则有4×(−1)−3×2+𝑚=0，解可得m的值，将m的值代入直线l的方程，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的含义，属于基础题．15.已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点在以O为球心的球面上，且𝐴𝐵