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2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2B．C．4D．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁RB）=（）A．RB．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2B．4C．8D．165．设，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121B．129C．178D．2097．若随机变量X～N（u，σ2）（σ＞0），则有如下结论（）P（u﹣σ＜X≤u+σ）=0.6826，P（u﹣2σ＜X≤u+2σ）=0.9544P（u﹣3σ＜X≤u+3σ）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6B．7C．8D．98．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9B．7C．5D．39．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．10．（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30B．120C．240D．42011．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣112．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1]D．二、填空题△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{an}满足：，则a2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为an，第二项的系数为bn．（1）求an，bn；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．19．（12分）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．节排器等级及利润如表格表示，其中综合得分k的范围节排器等级节排器利润率k≥85一级品a75≤k＜85二级品5a270≤k＜75三级品a2（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2B．C．4D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁RB）=（）A．RB．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．【解答】解：由1，化为：＞0，解得x＜1．可得B（﹣∞，1）．∴∁RB=[1，+∞）．集合A∩（∁RB）=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出y=f（x）的解析式，即可求出y=f（x）的最小正周期．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）=sin（2x+），T==π，故选B．【点评】本题考查y=f（x）的最小正周期，考查图象变换，确定函数的解析式是关键．4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2B．4C．8D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，渐近线方程为y=±x，点P（，0）到其渐近线的距离为8，即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，可得=8，即有b=8，则a2+64=c2，可得a=4，c=4，则C的实轴长为8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．设，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数的运算法则及其函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＞1，1＞b=log43===，c=log85===，可得b＞c．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则及其函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121B．129C．178D．209【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=8，b=5，S=13满足条件S≤85，a=5，b=13，S=18，满足条件S≤85，a=13，b=18，S=31，满足条件S≤85，a=18，b=31，S=49，满足条件S≤85，a=31，b=49，S=80，满足条件S≤85，a=49，b=80，S=129不满足条件S≤85，输出S的值为129．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．7．若随机变量X～N（u，σ2）（σ＞0），则有如下结论（）P（u﹣σ＜X≤u+σ）=0.6826，P（u﹣2σ＜X≤u+2σ）=0.9544P（u﹣3σ＜X≤u+3σ）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6B．7C．8D．9【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=110对称，利用P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，得即可到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），∴P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，根据正态曲线的对称性知：位于120分到130分的概率为=0.1359∴理论上说在120分到130分的人数0.1359×60≈8．故选：C．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．8．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9B．7C．5D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2﹣x）=2，即可求出f（6）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=2，∴f（2）=1∴f（6）+f（﹣2）=2，∴f（6）=3，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，考查学生的计算能力，利用f（2+x）+f（2﹣x）=2是关键．9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；条件概率与独立事件．【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256﹣24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=，恰好有两个盒子为空的放法有256﹣24﹣144﹣4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．10．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30B．120C．240D．420【考点】二项式定理的应用．【分析】（x+2y+z）6的展开式的通项公式：Tr