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重庆市九龙坡区2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点A(1,√3)，B(−1,3√3)，则直线AB的倾斜角是()A.60∘B.30∘C.120∘D.150∘【答案】C【解析】解：点A(1,√3)，B(−1,3√3)，则直线AB的斜率：√3−3√31+1=−√3．∴tanα=−√3，α=120∘．故选：C．直接求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．2.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2−y24=1B.x24−y2=1C.y24−x2=1D.y2−x24=1【答案】C【解析】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，不符合条件．故选：C．对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．3.下列说法错误的是()A.“x0”是“x≥0”的充分不必要条件B.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”C.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D.命题p：∃x∈R，使得x2+x+10，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【答案】C【解析】解：A.“x0”是“x≥0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”正确，C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D.命题p：∃x∈R，使得x2+x+10，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确，故错误的是C，故选：C．A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的定义进行判断，C.根据复合命题真假关系进行判断，D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力．4.设双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√2，且一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则此双曲线的方程是()A.x22−y24=1B.x24−y22=1C.x24−y24=1D.x22−y22=1【答案】D【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，可得双曲线的c=2，即a2+b2=4，由e=ca=√2，解得a=b=√2，则双曲线的方程为x22−y22=1．故选：D．求得抛物线的焦点，可得双曲线的c，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.α∩β=n，m⊂α，m//β⇒m//nB.α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥βC.m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥βD.m//α，n⊂α，⇒m//n【答案】A【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，α∩β=n，m⊂α，m//β，则由线面平行的性质定理得m//n，故A正确；在B中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或m⊂β，故B错误；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，由α与β相交或平行，故C错误；在D中，m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选：A．在A中，由线面平行的性质定理得m//n；在B中，则n与β相交、平行或m⊂β；在C中，由α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.已知双曲线x24−y22=1，直线l交双曲线于A、B两点，若线段AB的中点坐标为(12,−1)，则直线l的方程为()A.4x+y−1=0B.2x+y=0C.2x+8y+7=0D.x+4y+3=0【答案】C【解析】解：设以点P(12,−1)为中点的弦与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=1，y1+y2=−2，分别把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入双曲线方程双曲线x24−y22=1，再相减可得(x1+x2)(x1−x2)−2(y1+y2)(y1−y2)=0，∴(x1−x2)+4(y1−y2)=0，k=−y1−y2x1−x2=−14∴点P(12,−1)为中点的弦所在直线方程为y+1=−14(x−12)，整理得：2x+8y+7=0．故选：C．设以点P(12,−1)为中点的弦与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=1，y1+y2=−2，分别把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入双曲线x24−y22=1，再相减可得(x1+x2)(x1−x2)−2(y1+y2)(y1−y2)=0，(x1−x2)+4(y1−y2)=0，求出k，然后求解直线l的方程即可．本题考查了双曲线与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于中档题．7.某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.√17B.2√5C.√5D.√2【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图：如图所示：由于底面周长为8，得到：2πr=8，解得：r=4π，所以：点M到N在下地面上的射影的弧长为l=90π180⋅4π=2，所以：MN的最小值为|MN|=√22+1=√5．故选：C．首先求出底面的半径，进一步利用弧长公式和勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，弧长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.椭圆x225+y216=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60∘，则△F1PF2的面积是()A.16√33B.32√33C.16√3D.32√3【答案】A【解析】解：由椭圆x225+y216=1，得a=5，b=4，c=3，在△F1PF2中，∵∠F1PF2=60∘，∴由余弦定理可得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60∘，则4c2=(2a)2−3|PF1||PF2|，即36=100−3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=643．∴△F1PF2的面积是S=12|PF1||PF2|sin60∘=16√33．故选：A．由椭圆方程求得a，b，c的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|，代入三角形面积公式求解．本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是中档题．9.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E分别为BB1、A1C1的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为()A.12B.√32C.15D.45【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则有：A(0,−1,0)，D(√3,0，1)，C(0,1，0)，E(0,0，2)，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1，1)，CE⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)，设AD⃗⃗⃗⃗⃗，CE⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，则cosθ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CE⃗⃗⃗⃗⃗|=15，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为15，故选：C．先建立空间直角坐标系，则有：A(0,−1,0)，D(√3,0，1)，C(0,1，0)，E(0,0，2)，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1，1)，CE⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)，设AD⃗⃗⃗⃗⃗，CE⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，则cosθ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CE⃗⃗⃗⃗⃗|=15，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为15，得解本题考查了异面直线所成角，属中档题．10.动圆M与定圆C：x2+y2+4x=0相外切，且与直线l：x−2=0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为()A.y2−12x+12=0B.y2+12x−12=0C.y2+8x=0D.y2−8x=0【答案】B【解析】解：圆C的标准方程为(x+2)2+y2=4，圆心为C(−2,0)，半径为2．如下图所示，设圆M的半径为r，则|MC|=r+2，点M到直线l的距离为r，由题意可知，点M到点C的距离等于点M到直线x=4的距离，设动点M的坐标为(x,y)，则√(x+2)2+y2=4−x，化简得y2+12x−12=0．因此，动点M的轨迹方程为y2+12x−12=0．故选：B．设动点M的坐标为(x,y)，根据题意得知点M到点C的距离等于点M到直线x=4的距离，然后利用距离公式列等式可得出点M的轨迹方程．本题考查动点的轨迹方程，考查距离公式的应用，解决本题的关键在于处理圆与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题．11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A.3√2B.4√2C.5√2D.7√2【答案】C【解析】解：f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0+3)2，表示平面上点M(x,0)与点N(−2,4)，H(−1,−3)的距离和，连接NH，与x轴交于M(x,0)，则M(−107,0)，∴f(x)的最小值为√(−2+1)2+(4+3)2=5√2，故选：C．f(x)=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0+3)2，表示平面上点M(x,0)与点N(−2,4)，H(−1,−3)的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．12.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1b10)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a20,b20)有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2−e1的取值范围是()A.(13,+∞)B.(13,1)C.(12,+∞)D.(12,2)【答案】B【解析】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m−n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1−a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=12c，即a1−a2=12c，由e1=ca1，e2=ca2，可得1e1−1e2=12，由0e11，可得1e11，可得1e212，即1e22，则e2−e1=e2−2e22+e2=e222+e2，可设2+e2=t(3t4)，则e222+e2=(t−2)2t=t+4t−4，由f(t)=t+4t−4在3t4递增，可得f(t)∈(13,1)．故选：B．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：x+my+6=0，l2：3x+(m−2)y+2m=0平行，则m=______．【答案】−1【解析】解：直线l1：x+my+6=0，l2：3x+(m−2)y+2m=0平行，则1×(m−2)−3m=0，解得m=−1．故答案为：−1．根据两直线平行时A1B2−A2B1=0，列方程求出m的值．本题考查了两直线平行的应用问题，是基础题．14.在四面体A−BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，若四面体A−BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___