重庆市九龙坡区20182019高二上期末数学试卷文

2018-2019学年重庆市九龙坡区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线l：𝑦=−√3𝑥，则直线l的倾斜角为()A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为𝜃，𝜃∈[0∘,180∘)．则tan𝜃=−√3，∴𝜃=120∘．故选：C．设直线l的倾斜角为𝜃，𝜃∈[0∘,180∘).可得tan𝜃=−√3，即可得出．本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.抛物线𝑦=2𝑥2的准线方程为()A.𝑦=14B.𝑦=18C.𝑦=−14D.𝑦=−18【答案】D【解析】解：∵抛物线的标准方程为𝑥2=12𝑦，∴𝑝=14，开口朝上，∴准线方程为𝑦=−18，故选：D．先把抛物线化为标准方程为𝑥2=12𝑦，再求准线．在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．3.命题“∀𝑥∈𝑍，使𝑥2+2𝑥−10”的否定为()A.∃𝑥∈𝑍，𝑥2+2𝑥−1≥0B.∃𝑥∈𝑍，𝑥2+2𝑥−10C.∀𝑥∈𝑍，𝑥2+2𝑥+10D.∀𝑥∈𝑍，𝑥2+2𝑥−1≥0【答案】A【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀𝑥∈𝑍，使𝑥2+2𝑥−10”的否定为“∃𝑥∈𝑍，𝑥2+2𝑥−1≥0”，故选：A．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.由点𝑃(1,3)引圆𝑥2+𝑦2=9的切线的长是()A.2B.√19C.1D.4【答案】C【解析】解：∵点P到圆心的距离为√1+9=√10，圆的半径为3，∴切线长为：√10−9=1，故选：C．两点间的距离公式求出点P到圆心的距离，易知半径为3，使用勾股定理求出切线长，点P到圆心的距离、圆的半径、切线长，三者构成直角三角形，勾股定理成立．5.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3在点(1,𝑓(1))处的切线与直线𝑎𝑥−𝑦+1=0垂直，则a的值为()A.−3B.−13C.3D.13【答案】B【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑥3的导数为𝑓′(𝑥)=3𝑥2，可得在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为3，由切线与直线𝑎𝑥−𝑦+1=0垂直，可得𝑎=−13，故选：B．求得函数𝑓(𝑥)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查方程思想，属于基础题．6.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条渐近线方程为𝑦=√22𝑥，且与椭圆𝑥212+𝑦23=1有公共焦点，则C的方程为()A.𝑥28−𝑦24=1B.𝑥25−𝑦24=1C.𝑥24−𝑦22=1D.𝑥26−𝑦23=1【答案】D【解析】解：椭圆𝑥212+𝑦23=1的焦点为(±3,0)，可得双曲线的𝑐=3，即𝑎2+𝑏2=9，由双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，可得𝑏𝑎=√22，解得𝑎=√6，𝑏=√3，则双曲线的方程为𝑥26−𝑦23=1．故选：D．求得椭圆的焦点，可得双曲线的𝑐=3，由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，解方程可得a，b的值，进而得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦点，同时考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．7.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面𝛼，𝛽，给出下列四个命题，错误的命题是()A.若𝛼⊥𝛽，𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛽，则𝑎⊥𝑏B.若𝛼//𝛽，𝑎//𝛼，则𝑎//𝛽C.若𝛼⊥𝛽，𝛼⊥𝛾，𝛽∩𝛾=𝑎，则𝑎⊥𝛼D.若𝑎//𝛼，𝑎//𝛽，𝛼∩𝛽=𝑏，则𝑎//𝑏【答案】B【解析】解：对于A，若𝛼⊥𝛽，𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛽，则𝑎⊥𝑏是正确的，因为两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的；对于B，若𝛼//𝛽，𝑎//𝛼，则𝑎//𝛽是错误的，因为a也可能在𝛽内；对于C，若𝛼⊥𝛽，𝛼⊥𝛾，𝛽∩𝛾=𝑎，则𝑎⊥𝛼是正确的，因为由面面垂直与线面垂直的性质与判定，即可得出𝑎⊥𝛼；对于D，若𝑎//𝛼，𝑎//𝛽，𝛼∩𝛽=𝑏，则𝑎//𝑏是正确的，因为线面平行的性质定理转化为线线平行，得出𝑎//𝑏．故选：B．根据空间中的线线、线面与面面之间的位置共线，对选项中的命题判断正误即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中的平行与垂直的应用问题，是中档题．8.实数x，y满足𝑥2+𝑦2+2𝑥=0，则𝑦𝑥−1的取值范围是()A.[−√3,√3]B.(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C.[−√33,√33]D.(−∞,−√33]∪[√33,+∞)【答案】C【解析】解：设𝑦𝑥−1=𝑡，则𝑡𝑥−𝑦−𝑡=0与圆(𝑥+1)2+𝑦2=1由交点，∴圆心(−1|−𝑡−𝑡|√𝑡2+1,0)到直线𝑡𝑥−𝑦−𝑡=0的距离𝑑=|−𝑡−𝑡|√𝑡2+1≤1，解得−√33≤𝑡≤√33．故选：C．设𝑦𝑥−1=𝑡，则𝑡𝑥−𝑦−𝑡=0与圆(𝑥+1)2+𝑦2=1由交点.在根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.已知过抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|𝐴𝐹|⋅|𝐵𝐹|=16，则p的值为()A.2B.4C.2√2D.8【答案】C【解析】解：抛物线𝑦2=2𝑝𝑥的焦点𝐹(𝑝2,0)，准线方程为𝑥=−𝑝2，设𝐴(𝑥1,𝑦2)，𝐵(𝑥2,𝑦2)∴直线AB的方程为𝑦=𝑥−𝑝2，代入𝑦2=2𝑝𝑥可得𝑥2−3𝑝𝑥+𝑝24=0∴𝑥1+𝑥2=3𝑝，𝑥1𝑥2=𝑝24，由抛物线的定义可知，|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2，|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2，∴|𝐴𝐹|⋅|𝐵𝐹|=(𝑥1+𝑝2)(𝑥2+𝑝2)=𝑥1𝑥2+𝑝2(𝑥1+𝑥2)+𝑝24=𝑝24+32𝑝2+𝑝24=2𝑝2=16，解得𝑝=2√2．故选：C．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可𝑥1+𝑥2=3𝑝，𝑥1𝑥2=𝑝24，由抛物线的定义可知，|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2，|𝐵𝐹|=𝑥2+𝑝2，即可得到p．本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴1𝐴=2，当堑堵𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的外接球的体积为8√23𝜋时，则阳马𝐵−𝐴1𝐴𝐶𝐶1体积的最大值为()A.2B.4C.23D.43【答案】D【解析】解：∵堑堵𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的外接球的体积为8√23𝜋，∴其外接球的半径𝑅=√2，即𝐴1𝐵=2√2，又𝐴1𝐴=2，∴𝐴𝐵=2．则𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=4．∴𝑉𝐵−𝐴1𝐴𝐶𝐶1=13×𝐴𝐶×𝐴𝐴1×𝐵𝐶=23×𝐴𝐶×𝐵𝐶≤13(𝐴𝐶2+𝐵𝐶2)=43．即阳马𝐵−𝐴1𝐴𝐶𝐶1体积的最大值为43．故选：D．由已知求出三棱柱外接球的半径，得到𝐴1𝐵，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11.已知定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)满足，其中是函数𝑓(𝑥)的导函数.若𝑓(𝑚−2018)(𝑚−2018)𝑓(1)，则实数m的取值范围为()A.(0,2018)B.(2018,+∞)C.(2018,2019)D.(2019,+∞)【答案】C【解析】解：令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，𝑥∈(0,+∞)，则ℎ′(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2，∵𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)0，∴ℎ′(𝑥)0，∴函数ℎ(𝑥)在(0,+∞)递减，∵𝑓(𝑚−2018)(𝑚−2018)𝑓(1)，∴𝑚−20180，𝑚2018，∴𝑓(𝑚−2018)𝑚−2018𝑓(1)1，即ℎ(𝑚−2018)ℎ(1)，故𝑚−20181，解得：𝑚2019，故2018𝑚2019，故选：C．令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，𝑥∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左、右顶点分别为A，𝐵.点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点𝐸.连接AE，EA延长线交QF于点M，且𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线C的离心率为()A.√2B.2C.3D.5【答案】C【解析】解：由题意可得𝑃(−𝑐,𝑏2𝑎)，𝑄(−𝑐,−𝑏2𝑎)，𝐵(𝑎,0)，可得BP的方程为：𝑦=−𝑏2𝑎(𝑎+𝑐)(𝑥−𝑎)，𝑥=0时，𝑦=𝑏2𝑎+𝑐，𝐸(0,𝑏2𝑎+𝑐)，𝐴(−𝑎,0)，则AE的方程为：𝑦=𝑏2𝑎(𝑎+𝑐)(𝑥+𝑎)，则𝑀(−𝑐,−𝑏2(𝑐−𝑎)𝑎(𝑎+𝑐))，由𝑄𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得M是线段QF的中点，可得2⋅𝑏2(𝑐−𝑎)𝑎(𝑎+𝑐))=𝑏2𝑎，即2𝑐−2𝑎=𝑎+𝑐，即𝑐=3𝑎，则𝑒=𝑐𝑎=3，故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的a，c关系，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在边长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐵𝐷1与平面ABCD所成角的正弦值为______．【答案】√33【解析】解：正方体𝐴𝐶1中，∵𝐷𝐷1⊥底面ABCD，∴∠𝐷𝐵𝐷1即为𝐵𝐷1与底面ABCD所成角，易知𝐵𝐷1=√3，∴sin∠𝐷𝐵𝐷1=√33，故答案为：√33．作出正方体，易知∠𝐷𝐵𝐷1即为所求角，容易得解．此题考查了斜线与平面所成角，属容易题．14.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥−1，则𝑓(𝑥)的单调递增区间为______．【答案】(0,1)【解析】解：𝑓(𝑥)的定义域是(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=1𝑥−1=1−𝑥𝑥，令𝑓′(𝑥)0，解得：𝑥1，故𝑓(𝑥)在(0,1)递增，故答案为：(0,1)．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．【答案】13𝜋6【解析】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，∴该几何体的体积为：𝑉=𝜋×12×2+13×𝜋×12×1×12=13𝜋6．故答案为：13𝜋6．由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的