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12013年陕西师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={﹣1，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{﹣1，2，4}D．{﹣1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用补集运算求出∁UA，然后直接利用交集运算求解．解答：解：因为集合A={1，2，3}，U={﹣1，1，2，3，4}，所以∁UA={﹣1，4}，所以（∁UA）∪B={﹣1，4}∪{2，4}={﹣1，2，4}．故选C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题．2．（5分）如果复数z=，则（）A．|z|=2B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．解答：解：由z=，所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，z的共轭复数为﹣1+i，故选C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2012•安徽模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），2双曲线的方程为故选D点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．4．（5分）已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（）A．5B．10C．20D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先对二项式中的x赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，求出r，将r的值代入通项求出二项展开式中x4的系数．解答：解：在中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n∴2n=32∴n=5∴其展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣3r令10﹣3r=4得r=2∴二项展开式中x4的系数为C52=10故选B．点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．5．（5分）（2013•汕头一模）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15B．10C．9D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．解答：解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30=25组即做问卷C的有32﹣25=7组故做问卷C的人数为7人故选D点评：本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键．36．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：证明题；综合题．分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意．故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．7．（5分）（2010•青岛模拟）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：压轴题．分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．4点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．8．（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．0B．C．D．﹣1考点：循环结构．专题：图表型．分析：题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求cos值的和，n从1取到2013．解答：解：第一次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=2；第二次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=3；第三次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=4；第四次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=5；第五次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=6；第六次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=7；第七次循环：，满足条件n＜2013，n=n+1=8；…易知：S的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S的值为﹣1．故选D．点评：本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．9．（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）5A．﹣1B．0C．1D．2考点：数列与函数的综合．专题：计算题．分析：首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．解答：解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求单调区间，求切线方程，以及求函数的极值与最值等．10．（5分）（2011•双流县三模）定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）．则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．B．C．D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用不等式的基本性质即可求得结果．解答：解析：由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，故f（x）为奇函数得f（s2﹣2s）≤f（t2﹣2t），从而t2﹣2t≤s2﹣2s，化简得（t﹣s）（t+s﹣2）≤0，又1≤s≤4，故2﹣s≤t≤s，从而，而，故．故选C．点评：题综合考查函数的奇偶性、单调性知识；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.11．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．6考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等差数列{an}中，由a5=5，S5=15，解得a1=1，d=1，故==，由此利用裂项求和法能够求了数列的前100项和．解答：解：等差数列{an}中，∵a5=5，S5=15，∴，解得a1=1，d=1，∴an=1+（n﹣1）=n，∴==，∴数列的前100项和S100=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．12．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）═．考点：分段函数的应用．专题：计算题．分析：判断的范围代入相应的解析式求值即可解答：解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填点评：本题考查分段函数求值及指数对数去处性质，对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高13．（5分）一个几何体的三视图如图π×12×1=π所示，则该几何体的体积为．7考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知：原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，且圆柱的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为，高为，分别求出棱柱与圆柱的体积，进而可求该几何体的体积．解答：解：由三视图知：原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1=π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为，高为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为．点评：本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．14．（5分）已知，，如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：根据题意，若与的夹角为锐角，则有•＞0且与不平行，由•＞0可得3λ2+4λ＞0，由若与不平行，可得≠且2λ×3λ≠2λ，解可得λ的范围，综合可得答案．解答：解：根据题意，若与的夹角为锐角，则有•＞0且与不平行，由•＞0，可得3λ2+4λ＞0，解可得λ＜﹣或λ＞0，若与不平行，则有≠且2λ×3λ≠2λ，即λ≠0且λ≠，综合可得，λ＜﹣或λ＞0且λ≠，即λ的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，）∪（，+∞）；故答案为（﹣∞，﹣）∪（0，）∪（，+∞）．8点评：本题考查数量积的运用，注意向量夹角为锐角的充要条件，其次要排除向量平行的情况．15．（5分）（不等式选做题）若不存在实数x使|x﹣3|+|x﹣1|≤a成立，则实数a的取值集合是{a|a＜2}．考点：绝对值不等式．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据绝对值的几何意