集合与简易逻辑一

海量资源尽在星星文库：卷[第一章集合与简易逻辑（一）]说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A.{2，5}B.{－2，－5}C.{±2,±5}D.{2,－5}本题考查集合中元素的互异性.【解析】（1）由x2－3≠1解得x=±2(2)由x2－3≠2解得x≠±5∴x不能取的值的集合为{±2,±5}【答案】C2.若|3x－1|＜3,化简162492xx+41292xx的结果是（）A.6x－2B.－6C.6D.2－6x本题考查含绝对值不等式的解法及根式的化简.【解析】由|3x－1|＜3,解得－32＜x＜34∴162492xx+41292xx=22)23()43(xx=1343xx=－(3x－4)+(3x+2)=6【答案】C3.已知M={x|x1＜1,N={y|y=x2},则M∩N等于（）A.B.{x|x＞1}C.{x|x＜0D.{x|x＜0或x＞1}本题考查集合的元素及交集运算.【解析】M={x|x＞1或x＜0},N={y|y≥0},两个集合都是数集，集合中的元素是数，易知M∩N={x|x＞1}.【答案】B4.集合A={x|x2－3x－10≤0,x∈Z},B={x|2x2－x－6＞0,x∈Z,则A∩B的非空真子集的个数为（）A.16B.14C.15D.32本题考查一元二次不等式的解法及求交集、子集的有关知识.【解析】易得A={x|－2≤x≤5,x∈Z},B={x|x＞2或x＜－23,x∈Z＝.海量资源尽在星星文库：∴A∩B={x|－2≤x＜－23或2＜x≤5,x∈Z}={－2,3,4,5}.下面就是求集合{－2，3，4，5}的非空真子集的个数，我们知道，一个集合若有n个元素，则它的子集共有2n个，其中真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个，因此，本题答案为24－2=14个.【答案】B5.若x是不等式组365)2(23)3)(12(xxxx的解，则P(x+2,x－2)）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限本题考查一元二次不等式组的解法.【解析】由原不等式组得60)2)(32(xxx，解得x＜－6∵x+2＜－4,x－2＜－8,∴点P(x+2,x－2)在第三象限.【答案】C6.已知集合A={－1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.1或－1或0本题考查集合间的关系及分类讨论的能力.【解析】由A∪B=A有BA,①当m=0时，有B=A②当m≠0时，有B={x|x=m1}A∴m1=1或m1=－1,∴m=1或m=－1.综上可知m=0或m=1或m=－1.【答案】D7.已知M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k－1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,则a+b－c∈（）A.MB.PC.QD.M∪P本题考查元素与集合间关系的判定.【解析】设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3－1.则a+b－c=3(k1+k2－k3)+2=3(k1+k2－k3+1)－1,而k1+k2－k3+1∈Z.【答案】C8.二次函数y=x2+(a－3)x+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,且x1＜2,x2＞2,则a的取值范围是（）A.a＜1或a＞5B.a＜21C.a＜－21或a＞5D.－21＜a＜1本题考查由一元二次函数的图象求参数范围的问题.海量资源尽在星星文库：【解析】依题意可得0)2(0fΔ,即01)3(240562aaa解得a＜21.【答案】B9.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(UA)∩B={4}，（UA）∩(UB)={1，5}，则下列结论正确的是（）A.3A且3BB.3B且3∈AC.3A且3∈BD.3∈A且3∈B本题考查集合的运算.【解析】解答本题可利用文氏图填空的办法.如图，∵A∩B={2},(UA)∩B={4},(UA)∩(UB)={1,5}.∴3必在A∩(UB)中，∴3∈A,但3B.【答案】B10.若|x－4|+|x－3|＞a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(－∞,3)B.(－∞,1)C.[1,+D.(－∞,3)∪(4,+本题考查含两个绝对值符号的不等式的解法.【解析】【解法一】（1）当x≥4时，|x－4|+|x－3|=(x－4)+(x－3)=2x－7≥1;（2）当3≤x＜4时，|x－4|+|x－3|=－(x－4)+(x－3)=1;(3)当x＜3时，|x－4|+|x－3|=－(x－4)－(x－3)=－2x+7＞1.综上（1）（2）（3）可知，对一切实数x,都有|x－4|+|x－3|≥1.∴满足条件的a的取值范围为a＜1.【解法二】如图∵|x－4|+|x－3|=|PA|+|PB|≥1∴满足条件的a的取值范围为a＜1【解法三】由|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x+3)|=1可知满足条件的a的取值范围为a＜1.海量资源尽在星星文库：【答案】B第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.用描述法表示图中阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合应为_______.本题考查平面内常用点集的表述方法.【答案】{（x,y）|－1≤x≤23,－21≤y≤1,xy≥0}.12.不等式3252xxx≤－1的解集为_______.本题考查分式不等式的解法.【解析】原不等式等价于322322xxxx≤0)1)(3()1)(2(xxxx≤00)1)(3(0)3)(2)(1)(1(xxxxxx由数轴标根法可知原不等式解集为：{x|－1＜x≤1或2≤x＜3.【答案】{x|－1＜x≤1或2≤x＜313.已知集合P={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若P∩{正实数}=，则实数m的取值范围为_______.本题考查集合与方程及分类讨论思想，注意在有关子集讨论中不要忽视对空集的讨论.【解析】(1)当P=时，有Δ=(m+2)2－4＜0,解得－4＜m＜0.(2)当P≠时，有04)2(010)2(22121mΔxxmxx解得402mmm或,得m≥0综上①②可知m＞－4.【答案】{m|m＞－4}14.已知关于x的不等式|x－2)1(2a|≤2)1(2a的解集是单元素集A，则a=____,A=_____.本题考查含绝对值不等式的解法.【解析】由|x－2)1(2a|≤2)1(2a解得2a≤x≤a2+1海量资源尽在星星文库：又∵不等式的解集为单元素集，∴a2+1=2a,解得a=1,此时A={2}.【答案】1{2}三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知集合A={x|x2－5x+6＜0},B={x|x2－4ax+3a2＜0}且AB,求实数a的取值范围.本题考查含参数的一元二次不等式的解法，集合的交、并运算及分类讨论的能力.【解】A={x|x2－5x+6＜0={x|2＜x＜3,B={x|x2－4ax+3a2＜0={x|(x－a)(x－3a)＜0(1)当a＞0时,B={x|a＜x＜3a｝,∵AB,∴332aa,解得1≤a≤2.(2)当a＜0时，B={x|3a＜x＜a｝.由AB,得323aa，解集为.（3）当a=0时，B={x|x2＜0=不合题意.综上（1）（2）（3）可知1≤a≤2.16.（本小题满分10分）已知集合A={x|－2＜x＜－1或x＞1},B={x|x2+ax+b≤0},且A∩B={x|1＜x≤3},A∪B={x|x≥－2},试求a,b的值.本题考查集合间的运算.这样的定集合与动集合之间的运算通常是利用数轴进行子、交、并、补的运算，也就是简单的数形结合问题.【解】如图，可知B={x|－1≤x≤3}.即－1≤x≤3是不等式x2+ax+b≤0的解集.∴ba3)1(31,解得32ba.17.（本小题满分12分）已知集合A={x|x2－4x+3＜0},B={x||x－3|≤1}.(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB={x|1＜x＜2};(2)按（1）的运算，求出BΔA.本题考查学生对集合交、并、补集定义的理解及相关知识的联系与迁移能力，培养学生的发散性思维和创造性思维.海量资源尽在星星文库：【解】易得A={x|1＜x＜3},B={x|2≤x≤4}.(1)∵AΔB={x|1＜x＜2,由图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，∴定义AΔB={x|x∈A且xB}.（2）由（1）可知BΔA={x|x∈B且xA}={x|3≤x≤4}.18.（本小题满分12分）已知集合A={x|－x2+x+2＜0},B={x|2x2+(2k+5)x+5k＜0,k∈R}.求A∩B;本题考查含参数不等式的解法及利用数轴求集合的子集.【解】A={x|x＞2或x＜－1,B={x|(x+25)(x+k)＜0.①当k＞25时，B={x|－k＜x＜－25.由图（1）可知A∩B={x|－k＜x＜－25.图（1）②当k=25时，B=,A∩B=.③当k＜25时，B={x|－25＜x＜－k.(i)当－25＜－k≤－1即1≤k＜25时,图（2）由图（2）可知A∩B={x|－25＜x＜－k}(ii)当－1＜－k≤2即－2≤k＜1时，由图（3）知A∩B={x|－25＜x＜－1.海量资源尽在星星文库：图（3）（iii）当－k＞2即k＜－2时，由图（4）可知A∩B={x|－25＜x＜－1或2＜x＜－k.图（4）19.（本小题满分12分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑引一段距离才能停住，我们将这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/时以内的弯道上，甲乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场测得甲车的刹车距离超过了12米，乙车的刹车距离超过了10米，已知甲乙两种车型的刹车距离S（米）与车速x(千米/时)之间有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2问两车相碰的主要责任是谁？本题考查学生解应用题及不等式的能力.【解】由题意知，对于甲车：0.1x+0.01x2＞12x2+10x－1200＞0x＞30或x＜－40(舍去)根据题意，甲车刹车距离略超过12米∴甲车速不会超过30千米/时很多；对于乙车：0.05x+0.005x2＞10x2+10x－2000＞0x＞40或x＜－50(舍去)∵乙车速已经大于弯道限速40千米/时，∴主要责任在乙.