青海省师大附中高二上期中数学试卷

高考帮——帮你实现大学梦想！1/182016-2017学年青海省师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.每小题只有一项符合题意.）1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4B．（2，﹣1），2C．（﹣2，1），2D．（﹣2，﹣1），22．如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．323．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．内含4．过定点P（2，1），且倾斜角是直线l：x﹣y﹣1=0的倾斜角两倍的直线方程为（）A．x﹣2y﹣1=0B．2x﹣y﹣1=0C．y﹣1=2（x﹣2）D．x=25．已知两直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，若l1∥l2则m的取值为（）A．m=1B．m=﹣2C．m=1或m=﹣2D．m=﹣1或m=26．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）①BM与ED平行②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．A．①②③B．②④C．③④D．②③④7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）高考帮——帮你实现大学梦想！2/18A．B．C．D．9．已知点P（2，﹣3）、Q（3，2），直线ax﹣y+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A．a≥B．a≤C．≤a≤0D．a≤或a≥10．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），若点P是圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为（）A．+B．4C．3D．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①直线A1B与B1C所成的角为60°；②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为．其中，正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．过圆x2+y2﹣6x+4y﹣3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是．14．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为．15．如图1所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为中截面的中心，则△PA1C1在该正方体各个面上的射影可能是图2中的．高考帮——帮你实现大学梦想！3/1816．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．20．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．高考帮——帮你实现大学梦想！4/1821．一个圆和已知圆x2+y2﹣2x=0相外切，并与直线l：x+y=0相切于M（3，﹣）点，求该圆的方程．22．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．高考帮——帮你实现大学梦想！5/182016-2017学年青海省师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.每小题只有一项符合题意.）1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）A．（2，1），4B．（2，﹣1），2C．（﹣2，1），2D．（﹣2，﹣1），2【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．故选：B．2．如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是一个底面是正三角形，边长为：2，棱柱的高为：4的正三棱柱，所以它的表面积为：2×=24+2故选C3．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分别化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，故圆心坐标分别为（﹣2，﹣1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d==5，R+r=5，高考帮——帮你实现大学梦想！6/18则两圆的位置关系是相外切．故选：C．．4．过定点P（2，1），且倾斜角是直线l：x﹣y﹣1=0的倾斜角两倍的直线方程为（）A．x﹣2y﹣1=0B．2x﹣y﹣1=0C．y﹣1=2（x﹣2）D．x=2【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出x﹣y﹣1=0的斜率k=1即tanα=1得到α=45°，所以得到所求直线的倾斜角为90°即和x轴垂直，且过P（2，1）得到直线方程即可．【解答】解：可设直线l的倾斜角为α，根据x﹣y﹣1=0求出直线的斜率为1，根据斜率k=tanα=1得到α=45°；因为所求直线的倾斜角为2α=90°，所以得到该直线与x轴垂直且过（2，1），所以该直线方程为x=2故选：D．5．已知两直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，若l1∥l2则m的取值为（）A．m=1B．m=﹣2C．m=1或m=﹣2D．m=﹣1或m=2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由题意可得得=≠，解方程注意验证即可．【解答】解：由题意可得=≠，由得=可得m=1，或m=﹣2，当m=﹣2时，不满足≠，故选A6．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）①BM与ED平行②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．A．①②③B．②④C．③④D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：高考帮——帮你实现大学梦想！7/18显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选C．7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果．【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，高考帮——帮你实现大学梦想！8/18∴cos∠EMC===，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．故选：A．9．已知点P（2，﹣3）、Q（3，2），直线ax﹣y+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A．a≥B．a≤C．≤a≤0D．a≤或a≥【考点】直线的斜率．【分析】首先将方程转化成点斜式，求出斜率以及交点坐标，画出图象，即可求出结果．【解答】解：直线ax﹣y+2=0可化为y=ax+2，斜率k=a，恒过定点A（0，2）．如图，直线与线段PQ相交，0≥k≥kAP，即≤a≤0．故选C．10．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】点到直线的距离公式．【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r=3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD=DE，即3﹣2=1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．高考帮——帮你实现大学梦想！9/18【解答】解：由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE=3，则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11=0的距离为d==2，即AD=2，∴ED=1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，∴圆上的点到直线3x+4y﹣11=0的距离为1的点有3个．故选C．11．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），若点P是圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为（）A．+B．4C．3D．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由两点A（﹣1，0）、B（0，2），利用两点间的距离公式可得|AB|，利用截距式可得直线AB的方程为：=1，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线AB的距离d．利用点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离dmin=d﹣r．可得△ABP面积的最大值和最小值之和=．【解答】解：由两点A（﹣1，0）、B（0，2），∴|AB|=，直线AB的方程为：=1即2x﹣y+2=0．由圆（x﹣1）2+y2=1可得圆心C（1，0），半径r=1．则圆心C到直线AB的距离d==．∵点P是圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，∴点P到直线AB的最大距离dmax=d+r=；点P到直线AB的最小距离dmin=d﹣r=．∴△ABP面积的最大值和最小值之和=高考帮——帮你实现大学梦想！10/18==4．故选：B．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①直线A1B与B1C所成的角为60°；②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒