高等数学2.3-连续型随机变量及其概率密度

2.3连续型随机变量及其概率密度第二章随机变量及其概率分布一、定义2.8:使对任意实数a,b(ab),有P{aX≤b}则称X是连续型随机变量,f(x)称为概率密度函数,bafxdx=(),abxf(x)O简称概率密度函数,下图为其几何解释A阴影面积A=P{aX≤b}二、密度函数性质:fxdx(2)()=1.设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),(1)f(x)≥0是可积的;注(1)若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某个随机变量的密度函数.(2)连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要区别是:连续型随机变量取单个值的概率为0,于是有P{aX≤b}=P{a≤Xb}=P{aXb}=P{a≤X≤b}bafxdx=()三、定理2.4:若随机变量X是连续型的,其密度函数为f(x),则有GPXGfxdx=(),其中G表示一个区域,且设f(x)在G上可积.xf(x)O阴影面积为F(x)x四、连续型随机变量的分布函数：F(x)=P{X≤x}xftdtx=(),对于连续型随机变量X，其密度函数为f(x),则X的分布函数为注(1)F(x)与密度函数f(x)关系的几何解释如图所示:(2)由积分上限函数的性质可知dFxfxdx()=().例2.9设随机变量X的密度函数为(1)确定常数k;f(x)=kx,0≤x33≤x≤40,其它(2)求X的分布函数F(x);x2,2(3)求P{1X≤7/2}.F(x)=1,x≥40≤x＜30,x＜0(2)X的分布函数为xtdt0,6fxdx由解得(1)()=1,xkxdx+dxk解得34031(2)=1,=263≤x＜4xxxdx+dx303(2),62即F(x)=1,x≥40≤x＜30,x＜0x2,123≤x＜4xx23+2,4PFF7741(3){1X}=()(1)=2248axbfxba其它1,()=0,五、几种常见的连续型随机变量:(1)定义2.9:1、均匀分布:若随机变量X的密度函数为则称随机变量X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X～U[a,b],其中a,b为参数,a＜b.ddccdcfxdxdxbaba1()==注若随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,则X落入[a,b]的任何子区间的概率仅与该区间的长度有关,而与子区间的位置无关,这是均匀分布的一个特点.cdab,,事实上对于有,,xaxadxxaFxaxbbabaxb0,()==,0,(2)均匀分布的分布函数:例2.10设电阻(单位Ω)值R是一个随机变量,均匀分布在900～1100.求R的概率密度函数及R落在950～1050的概率.解由题意知,R的概率密度为xfx其它1,9001100()=2000,Pdx10509501{950R1050}==0.5200xexfx其它,0()=0,(1)定义2.9:2、指数分布:设连续型随机变量X的密度函数为其中为常数0,X称服从参数为的.指数分布(2)分布函数:xexFx其它1,0()=0,(3)服从指数分布的随机变量的特点:“无记忆性”PXstXsPXt{+}={}st即对任意有,0,事实上，有PXstXs{+}PXstXsPXstPXsPXs{(+)()}{+}=={}{}stssFsteePXFse(+)1(+)===={}1()xfxex,22()21()=2(1)定义2.11:3、正态分布:若随机变量X的密度函数为XXN称服从,记作正分布态2(,),其中,0.xf(x)OXN的密度函数2(,)fx的图形:()txFxedt,22()21()=2(2)正态分布的分布函数:xF(x)OS其图形为一条光滑上升的形曲线:221()=2,txxedtx(2)定义2.12:01(0,1)N称=,=时的正态分布为标准正态分布.()x标准正态分布的密度函数:221()=2,xxex()x标准正态分布的分布函数:(1)()=1()xx注(2)()x中不含任何未知参数.(i)=1();PXxx(3)定理2.5:设X～N(0,1),则有(ii)=()();PaXbba(iii)=2()1.PXcc注可用Φ(x)的定义证明定理.2(,),(0,1).XXNY=N若则(4)定理2.6:()(),XYXYFxFy设与的分布函数分别为和证则由分布函数定义知()==YXFyPYyPy()X=PXy=Fy由于正态分布函数严格单调且处处可导,所以若()(),XYXYfxfy设与的密度函数分别为和则有(0,1).XY=N故()=()=()YYXddfyFyFydydy221=()=2πyXfye(5)相关结论:2(,),(),XNabcab设对于任意实数,,有=(),cPXc=()().baPaXb例2.11设随机变量X～N(108,32),试求解(1)P{102X117}117108102108=()()33ΦΦ(1)P{102X117};(2)求常数a,使P{Xa}=0.95.=(3)(2)=(3)+(2)1ΦΦΦΦ=0.9987+0.97721=0.9759由正态分布表反查得108(2)=()=0.95.3aPXaΦ(1.64)=0.9495,(1.65)=0.9505,ΦΦ108=1.645,3a故=112.935.a得例2.12设随机变量X～N(0,1),则解(1)直接查表知(1)求P{X≤1.96};P{X≤1.96};P{|X|≤1.96};P{1≤X≤2}.(2)已知P{X≤a}=0.7019;P{|X|≤b}=0.9242P{X≤c}=0.2981,求a,b,c.P{X≤1.96}=Φ(1.96)=0.975,利用Φ(x)的对称性知P{X≤1.96}=Φ(1.96)=1Φ(1.96)=0.025;P{|X|≤1.96}=P{1.96≤X≤1.96}=Φ(1.96)Φ(1.96)=P{X≤1.96}P{X1.96}=Φ(1.96)1+Φ(1.96)=2Φ(1.96)1=0.95;P{1≤X≤2}=P{X≤2}P{X1}=Φ(2)Φ(1)=Φ(2)1+Φ(1)=0.97725+0.84131=0.81855(2)由于P{X≤a}=Φ(a)=0.7019查表知a=0.53由P{|X|b}=P{bXb}=0.9242有Φ(b)Φ(b)=2Φ(b)1=0.9242故Φ(b)=0.9621查表知b≈1.78由P{X≤c}=0.2981,而Φ(0)=0.51,故知c0.由于Φ(c)=0.2981所以Φ(c)=1Φ(c)查表知c=0.53,=10.2981=0.7019即c=0.53例2.13已知X～N(8,0.52),求(1)P{X≤9};(2)P{7.5≤X≤10};(3)P{|X8|≤1}=0.9242(4)P{|X9|0.5}解898(1)9=(2)=0.97725.0.50.5XPXP=Φ7.588108(2)7.510=0.50.50.5XPXP8=140.5XP=Φ(4)Φ(1)=Φ(4)1+Φ(1)≈0.8413;例2.14某型号电池寿命X近似正态分布N(μ,σ2),250=350,PXPX由于解350250300.2+==已知其寿命在250h的概率均为92.36%,为使其寿命在μx和μx之间的概率不小于0.9,x至少为多大?由正态分布的密度函数关于x=μ对称知,300350300350XPX=P由50()=0.9236.=Φ501.43.查表知35.于是故X～N(300,352).=PxXxPxXx由==XxPXxP2()12()10.9,35xx=Φ=Φ()0.95,35xΦ知1.645,57.5835xx查表得即(0,1),XN设若满足条件z=(01),PXzz则称点为标准正态分布的上点分位0.0010.0050.0100.0250.050.10z3.0902.5762.3271.9601.6451.282z几个常用值1()=xzz由图形的对称性知:(6)上分位点:作业P34:7,8,12(2)(3),13,14,22习题二