高一数学习题

高一数学习题例1已知、，则在以下各命题中，正确的命题共有（）（1），时，与的方向一定相反（2），时，与的方向一定相同（3），时，与是共线向量（4），时，与的方向一定相同（5），时，与的方向一定相反A．2个B．3个C．4个D．5个分析；要对以上5个命题进行真假判断，只要掌握关于实数与向量的积是一个向量，其方向规定为：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，就不难作出正确选择．解：根据实数与向量的积的方向的规定，易知命题（1）、（2）、（3）都是正确的．对于命题（4）与（5），（ⅰ），可得、同为正或同为负，所以与或者都与同向，或者都与反向，所以与同向．故命题（4）是正确的；（ⅱ）若，则与异号，与与中，一个与同向，一个与反向，∴与反向，故命题（5）也是正确的．综上所述，应选择（D）．例2计算：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式评注：实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减运算法则。例3如图（1），已知向量、，求作向量解：在平面上任取点O，作，，则，如图（2）。评注：作向量，要使与同向，且的长度等于的长度的2倍；作则同理可作。例4如图，D是△ABC中BC边的中点，求证：证法一：∵D是BC边的中点，证法二：延长AD到E，使DE＝AD，连BE、CE，如图，则四边形ABCE是平行四边形．由向量加法的平行四边形法则知：例5已知、不共线，，，试判断与是否共线？分析；要判断与是否共线，只要看是否存在实数，使解：∵，，∴∴与共线。例6已知三角形ABC，，，点D、E分别在线段AB和AC上，且，证明证明：如图，设（，），则，例7设平面上有点P和△ABC，已知，试确定P的位置。解：∵，则由题意得：，即，∴点P在线段AC上，且将线段AC分成（如图）例8已知：△ABC和点G，试证：点G是△ABC的重心的充要条件是：证明：如图，以线段GA和GB为邻边作，连EG交AB于D，则D是AB的中点，且，，充分性：若，则，∴G是△ABC的重心。必要性：若G是△ABC的重心，则因D是AB边的中点，所以有，∴例9如图，已知△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：（1）；（2）；（3）点拨：要证明（1）只须证明；要证（2）只须证明对于（3），可将等式左边诸向量代换成一些有明显关系的向量再进行运算。证明：这说明∴∴∴同理，，，∴点评：用向量方法来证明平面几何命题，应先把结论写成向量形式，然后通过向量运算来完成，而不是通过平面几何的公理体系来完成．例10在△ABC中（右图），设D及E是BC的三等分点，D在B和E之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，试用向量法求比值解：设，，则，现在把上式中的每一个向量用及表示：，，，把这些式子代入前面的等式，我们有即由于，不共线，所以解之从而得说明：上述求解过程中没有利用平面几何中的有关结论。其实采用纯平几法求解是十分简洁的。例11已知向量，，其中、不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与共线？解：∵要与共线，则应有实数，使，即，由得故存在这样的实数、，只要，就能使与共线。评注：向量与共线，则必有请问：若，向量与共线吗？例12如图，、不共线，点P是直线AB上的一点，且（，），试用、表示。分析：与、没有直接的联系，这时我们可以在△OAP（或△OPB）中，把用和（或与）表示出来。解：例13如图，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设，，试用、表示。错解：连BE并延长交CD于G，连AG。由于E是AC与BG的中点，所以四边形ABCG是平行四边形。因此、又∵F是BD的中点，点击：由于四边形ABCD不是梯形，而是一般的四边形．所以，点E是AC的中点，但并不一定是BG的中点．因此，四边形ABCG并不一定是平行四边形，所以不一定等于，故上述解法是错误的．正解：如图，取AB中点P，连EP、FP。在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，在△EFP中，说明：由于∴，。即也等于四边形另一对对边相应向量和的一半。