高一数学人教版必修3第五章概率Word版含解析

第五章概率重点列表：重点名称重要指数重点1随机事件的概念★★★重点2对立与互斥的概念★★★★重点详解：1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件．(3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________．3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)(或AB)相等关系若BA且AB____________并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件A∩B(或AB)互斥事件若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝______对立事件若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝______P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝____________拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________.(2)必然事件的概率P(E)＝____________.(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________.推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝___________.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________________.【答案】1．(1)必然事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)确定事件随机事件2．(1)频数nAn(2)频率常数概率(3)小概率事件3．包含BAA＝B或且A∩BØA∩BA∪BØ14．(1)0≤P(A)≤1(2)1(3)0(4)①P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)②1－P(B)重点1：随机事件的概念【要点解读】概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．【考向1】随机事件的判断【例题】同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．【考向2】不可能事件与必然事件【例题】一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.重点2：对立与互斥的概念及应用【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，①事件A与B互斥，即集合A∩B＝Ø；②事件A与B对立，即集合A∩B＝Ø，且A∪B＝I(全集)，也即A＝∁IB或B＝∁IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.3．只有事件A，B互斥时，才有公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立．4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．【考向1】对立与互斥的概念【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．(3)不是互斥事件．道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．【评析】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．【考向2】对立与互斥的应用【例题】经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：排队人数012345概率0.100.160.300.300.100.04(1)求至多2人排队的概率；(2)求至少1人排队的概率．【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率．难点列表：难点名称难度指数难点1古典概型★★★★难点2集合概型★★★★★难点详解：古典概型1．基本事件和基本事件空间的概念(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．(2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母________表示．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是____________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．3．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．(2)每个基本事件出现的可能性____________．4．古典概型的概率公式在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n个，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝________.【答案】1．(1)基本事件(2)基本事件空间Ω2．(1)互斥(2)基本事件3．(1)有限(2)相等4.mn几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．【答案】1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3.构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）难点1：古典概型【要点解读】1．古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”)．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．2．(1)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．(2)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式P(A)＝mn求概率．3．对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．4．较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；(2)采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．【考向1】基本事件与基本事件空间的概念【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次．(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件；(2)事件A：“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B：“三次都出现正面向上”包含几个基本事件．解：(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等可能结果．(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正)．【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”．任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间．【考向2】列举基本事件求概率【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率