高一数学导数及其运用练习题3

高考网本资料来源于《七彩教育网》导数综合题训练题（一）1．函数)31()(3axaxxf（1）若函数)(xf在2x时取到极值，求实数a得值；（2）求函数)(xf在闭区间]1,1[上的最大值.2．设函数3221()32fxxaxx，aÎR.（1）当2x时,()fx取得极值，求a的值；（2）若()fx在0，内为增函数，求a的取值范围．3已知函数,2)(23xaxxxfRa（1）若)(xf在1,0上是减函数，求a的最大值；（2）若)(xf的单调递减区间是1,31，求函数y=)(xf图像过点1,1的切线与两坐标轴围成图形的面积。4已知函数].1,1[,)(3xcxaxxf（1）若a=4，c=3，求证：对任意]1,1[x，恒有1|)(|xf；（2）若对任意]1,1[x，恒有1|)(|xf，求证：|a|≤4.5已知函数3()fxxaxb的图象是曲线C，直线1ykx与曲线C相切于点（1，3）.（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx的递增区间；（3）求函数()Fx()23fxx在区间[0,2]上的最大值和最小值.6用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.7函数326fxxx的定义域为2,t，设2,fmftn．（1）求证：nm；（2）确定t的范围使函数fx在2,t上是单调函数；高考网（3）求证：对于任意的2t，总存在02,xt，满足0()2nmfxt；并确定这样的0x的个数．8定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D，都有)()(21xfxf1，则称函数y=f（x）为“Storm函数”．已知函数f（x）=x3-x+a（x∈[-1,1],a∈R）．（1）当a=2时，求过点（1，2）处的切线方程．（2）函数f（x）是否为“Storm函数”?如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．9已知函数cbxaxxxf23)(的图象上点P（1，－2）处的切线方程为.13xy（1）若2)(xxf在时有极值，求)(xf的表达式；（2）若)(xf在区间[－2，0]上单调递增，求实数b的取值范围.10某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=4AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0．1km2）.11．已知函数,122131)(223xxaaxxf其中Ra，（1）若)(xf在Rx时存在极值，求a的取值范围；（2）若)(xf在]21,1[上是增函数，求a的取值范围12已知函数32()2fxxxaxb.（1）若函数()fx的图象上有与x轴平行的切线，求参数a的取值范围;（2）若函数()fx在1x处取得极值，且1,2x时，2()fxbb恒成立，求参数b的取值范围.答案高考网解：（1）13)(2/axxf由0)2(/f求得121a--------------------------------------3分（2）在31a时知)(xf在]1,1[上恒减，则)(xf最大值为1)1(af10分2.解:221fxxax，（1）由题意：28210fa解得92a.………………………………………………3分（2）方程2210xax的判别式28a,(1)当0,即2222a时，2210xax,()0fx在0，内恒成立,此时()fx为增函数；(2)当0,即22a或22a时，要使()fx在0，内为增函数,只需在0，内有2210xax即可,设2()21gxxax，由(0)10,022ga得0a,所以22a.由(1)(2)可知,若()fx在0，内为增函数，a的取值范围是[22,).………………………………………………133.解：（1）)(/xf=1232axx，由题意可知，)(/xf在（0，1）上恒有0)(/xf则0)0(/f且0)1(/f，得1a，所以a的最大值为-1……………………………………………………….5分（2）)(xf的单调递减区间是1,31，高考网)(/xf=1232axx=0的两个根为31和1，可求得a=-1，,2)(23xxxxf①若（1，1）不是切点，则设切线的切点为00,yx，10x，则有1231102000xxxy1230200xxy，解得10x（舍），00x，20y，k=-1②若（1，1）是切点，则k=0)1(/f综上，切线方程为y=1,x+y-2=0这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形它的面积S=23)21(21…………………………………………………………..13分4.（1）证明：由a=4，c=3，得.34)(3xxxf于是312)(2xxf令21,0)(xxf可得，所以当0)(,12121xfxx时或，当,0)(,2121xfx时所以函数)(xf的增区间为（－1，－21），（21，1），减区间（－21，21），又,1)21(,1)1(,1)21(,1)1(ffff故对任意]1,1[x，恒有1)(1xf，即对任意]1,1[x，恒有1|)(|xf.…………………………………………7分（2）证明：由cxaxxf3)(可得，28)21(,)1(cafcaf，因此.43)21(2)1(aff由.|)21(|2|)1(||)21(2)1(||43|ffffa高考网又对任意]1,1[x，恒有1|)(|xf，所以.4||,3|43|aa可得………………………………………………14分5.解：（1）∵切点为（1，3），∴13k，得2k.1分∵2'()3fxxa，∴'(1)32fa，得1a.2分则3()fxxxb.由(1)3f得3b.3分∴3()3fxxx.4分(2)由3()3fxxx得2'()31fxx，令2'()310fxx，解得33x或33x.6分∴函数()fx的增区间为3(,)3，3(,)3.8分（3）3()3Fxxx，2()33Fxx令2()330,Fxx得11x，21x.10分列出,(),()xFxFx关系如下：x0(0,1)1(1,2)2'()Fx0()Fx0递减极小值2递增212分∴当[0,2]x时，()Fx的最大值为2，最小值为2.14分6.解：设容器底面长方形宽为mx，则长为(0.5)mx，…………..1分高考网依题意，容器的高为1[14.844(0.5)]3.22.4xxx…………..3分显然001.63.220xxx，，，即x的取值范围是(01.6)，.…………..5分记容器的容积为3my，则32(0.5)(3.22)22.21.6yxxxxxx(01.6)x，.…………..7分求导数得，2'64.41.6.yxx…………..9分令'0y，解得01x；令'0y，解得11.6x.所以，当1x时，y取得最大值1.8，这时容器的长为5.15.01.……..12分答：容器底面的长为5.1m、宽为1m时，容器的容积最大，最大容积为31.8m...13分7.解：（1）设htnm，则ht223)4)(2(326tttt0，所以nm．（2）2312fxxx，令0fx，得120,4xx．当2,0t时，2,xt时，'0fx，fx是递增函数；当0t时，显然fx在2,0也是递增函数．∵0x是fx的一个极值点，∴当0t时，函数fx在2,t上不是单调函数．∴当2,0t时，函数fx在2,t上是单调函数．（3）由（1），知2(2)(4)nmtt，∴242nmtt．又∵'2312fxxx，我们只要证明方程2231240xxt在2,t内有解即可．记223124gxxxt，则22364210gttt，223124224gtttttt，∴2222410ggtttt．①当2,410,t时，22224100ggtttt，高考网方程在2,t内有且只有一解；②当4,10t时，22100gtt，2240gttt，又221240gt，∴方程在2,2,2,t内分别各有一解，方程在2,t内两解；③当4t时，方程23120gxxx在2,4内有且只有一解0x；④当10t时，方程2312363260gxxxxx在2,10内有且只有一解6x．综上，对于任意的2t，总存在02,xt，满足'02nmfxt．当2,410,t时，满足'02nmfxt，02,xt的0x有且只有一个；当4,10t时，满足'02nmfxt，02,xt的0x恰有两个8.（1）∵2;13)(2kxxf，∴切线方程为xy2…………………………（4分）（2）∵函数),1,1()(3Raxaxxxf的导数是13)(2xxf当0132x时，即33x当33x时，2()310fxx当3333x时，2()310fxx当33x时，2()310fxx故)(xf在1,1x内的极大值是932a极小值是932a∵aff)1()1(…………………………….（8分）∴函数),1,1()(3Raxaxxxf的最大值是932a，最小值是932a高考网∴函数)(xf是“Storm函数”9.baxxxf23)(2因为函数1)(xxf在处的切线斜率为－3，所以02323)1(babaf，即…………①又.121)1(cbacbaf得………………②（2分）（1）函数时在2)(xxf有极值，所以0412)2(baf……③（4分）解①②③得a=－2，b=4，c=－3，所以.342)(23xxxxf……6分（2）因为函数)(xf在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数bbxxxf23)(在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，则0)0(,0212)2(bfbbf………………11分得4b，所以实数b的取值范围为),4[…………13分10.以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如