高一数学导数及其运用练习题4

高考网本资料来源于《七彩教育网》．已知a是实数，函数2()223fxaxxa．如果函数()yfx在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．24．设函数2()ln()fxxax（I）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（II）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．25．设函数2()ln(23)fxxx（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）求()fx在区间3144，的最大值和最小值．26.已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）．27．设二次函数2()fxxaxa，方程()0fxx的两根1x和2x满足1201xx．（I）求实数a的取值范围；（II）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小．并说明理由．28．如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（090），且2sin5，点P到平面的距离0.4PH（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为2a万元高考网．当山坡上公路长度为lkm（12l≤≤）时，其造价为2(1)la万元．已知OAAB⊥，PBAB⊥，1.5(km)AB，3(km)OA．（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．（III）在AB上是否存在两个不同的点D，E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．答案解析23.解:若0a,()23fxx,显然在上没有零点,所以0a令248382440aaaa得372a当372a时,yfx恰有一个零点在1,1上;当11150ffaa即15a时,yfx也恰有一个零点在1,1上;当yfx在1,1上有两个零点时,则ＯAEDBHP高考网208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a因此a的取值范围是1a或352a;24.解：（Ⅰ）1()2fxxxa，依题意有(1)0f，故32a．从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx．()fx的定义域为32，∞，当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间31122，，，∞单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）()fx的定义域为()a，∞，2221()xaxfxxa．方程22210xax的判别式248a．（ⅰ）若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx的极值．（ⅱ）若0，则2a或2a．若2a，(2)x，∞，2(21)()2xfxx．高考网时，()0fx，当22222x，，∞时，()0fx，所以()fx无极值．若2a，(2)x，∞，2(21)()02xfxx，()fx也无极值．（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，12xaxa，，从而()fx有()fx的定义域内没有零点，故()fx无极值．当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()fx在12xxxx，取得极值．综上，()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，∞．()fx的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln2ln22efxfxxaxxaxa．25.解：()fx的定义域为32，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323xxxxfxxxxx．当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间312，，12，∞单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()fx在区间3144，的最小值为11ln224f．又31397131149lnlnln1ln442162167226ff0．高考网所以()fx在区间3144，的最大值为117ln4162f．26.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同．()2fxxa∵，23()agxx，由题意00()()fxgx，00()()fxgx．即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得：0xa，或03xa（舍去）．即有222221523ln3ln22baaaaaaa．令225()3ln(0)2httttt，则()2(13ln)httt．于是当(13ln)0tt，即130te时，()0ht；当(13ln)0tt，即13te时，()0ht．故()ht在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，于是()ht在(0)，∞的最大值为123332hee．（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx，则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx．故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx．故当0x时，有()()0fxgx≥，即当0x时，()()fxgx≥．27.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．高考网：（Ⅰ）令2()()(1)gxfxxxaxa，则由题意可得01012(1)0(0)0agg，，，，011322322aaaa，，，或，0322a．故所求实数a的取值范围是(0322)，．（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，令2()2haa．当0a时，()ha单调增加，当0322a时，20()(322)2(322)2(17122)hah1121617122，即1(0)(1)(0)16fff．解法2：（I）同解法1．（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，由（I）知0322a，41122170a∴2．又4210a，于是221112(321)(421)(421)0161616aaaa，即212016a，故1(0)(1)(0)16fff．解法3：（I）方程()0fxx2(1)0xaxa，由韦达定理得121xxa，12xxa，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0xxxxxxxxxx，，，，01322322aaaa，，或0322a．故所求实数a的取值范围是(0322)，．（II）依题意可设12()()()gxxxxx，则由1201xx，得高考网(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]fffggxxxxxxxx2211221112216xxxx，故1(0)(1)(0)16fff．28.解：（I）如图，PH⊥，HB，PBAB⊥，由三垂线定理逆定理知，ABHB⊥，所以PBH是山坡与所成二面角的平面角，则PBH，1sinPHPB．设(km)BDx，01.5x≤≤．则2221PDxPBx[12]，．记总造价为1()fx万元，据题设有2211111()(1)(3)224fxPDADAOaxxa21433416xaa当14x，即1(km)4BD时，总造价1()fx最小．（II）设(km)AEy，504y≤≤，总造价为2()fy万元，根据题设有222131()13224fyPDyya2433216yyaa．则22123yfyay，由2()0fy，得1y．当(01)y，时，2()0fy，2()fy在(01)，内是减函数；当514y，时，2()0fy，2()fy在514，内是增函数．故当1y，即1AE（km）时总造价2()fy最小，且最小总造价为6716a万元．（III）解法一：不存在这样的点D，E．事实上，在AB上任取不同的两点D，E．为使总造价最小，E显然不能位于DAOEDBHP高考网之间．故可设E位于D与A之间，且BD=1(km)x，1(km)AEy，12302xy≤≤，总造价为S万元，则221111113224xySxya．类似于（I）、（II）讨论知，2111216xx≥，2113322yy≥，当且仅当114x，11y同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD，1(km)AE，S取得最小值6716a，点DE，分别与点DE，重合，所以不存在这样的点DE，，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得221111113224xySxya2221111111433334416xayyyyaa22111114323(3)(3)416yyyyaa≥6716a．当且仅当114x且2211113(3)(3)yyyy，即11114xy，同时成立时，S取得最小值6716a，以上同解法一．