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高考网本资料来源于《七彩教育网》平面向量的坐标运算、线段的定比分点·能力培养与测试一、选择题1．已知a=(3，－1)，b=(－1，2)，则－3a－2b的坐标是[]A．(7，1)B．(－7，－1)C．(－7，1)D．(7，－1)[]3．已知A，B两点坐标分别为(a，－b)，(－a，b)，点C分所成的比为－2，那么C点的坐标是[]A．(－3a，3b)B．(3a，－3b)C．(a，b)D．(－a，b)4．如图，G为△ABC的重心，则＋－等于[]A．0B．4高考网．4D．4[]二、填空题6．△ABC的三条边的中点的坐标分别是（2，1），（－3，4），（－2，1），则△ABC的重心坐标为________．则x=________．8．已知a＝（5，10），b=（－3，－4），c＝（2，3），且c=la＋kb，则l＝________，k＝________．9．已知平行四边形ABCD中，有=（－2，1），=（3，7），则向量的坐标是________．10．已知＝（k，12），=（4，5），＝（10，k），且A，B，C三点共线，则k的值为________．高考网三、解答题11．已知ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB与CD的中点分别为M（3，0），N（－1，－2），求ABCD其余各个顶点的坐标．12．如图，＝（6，1），＝（x，y），=（－2，－3），且∥，确定x，y的关系式．13．证明G为△ABC重心的充要条件是++=0．14．如图，五边形ABCDE中，点M，N，P，Q分别是AB，CD，BC，DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．15．设ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F，且F分的比为m∶n，BF与CE交于点K，求K分的比λ的值．高考网参考答案一、选择题1．(B)．2．(B)．P(－1，－)．3．(A)．4．(D)．由于G为△ABC的重心，于是有＋＋=0，则＋－=－2，又=－2，故＋－=4．5．(C)．高考网二、填空题6．(－1，2)设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)．由中点坐标公式，得由(Ⅰ)得a1＋b1＋c1=－3，由(Ⅱ)得a2＋b2＋c2=6，另解据例6的结论，△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同．于是，7．x=0或x=－1由于a与b共线，则高考网(x2－5x)＋12x=0，2x2＋2x＝0，x=0，x=－1．由(2，3)＝l(5，10)＋k(－3，－4)=(5l－3k，10l－4k)．9．(2，－1)由向量加法的平行四边形法则=＋=(1，8)，=－=(2，－1)．或由平行四边形性质知=－=(2，－1)．10．k=11或k=－2因为A，B，C三点共线，所以与共线．而=－=(4－k，－7)＝－＝(6，k－5)．∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0．解得k=11或k=－2．另有解法：设B分的比为λ，则高考网=11或k=－2．三、解答题11．解法一设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．∵M(3，0)为AB的中点，且A(－2，1)．∴b1＝8，b2=－1，∴B(8，－1)．又∵M(3，0)，N(－1，－2)，∴MN的中点O的坐标为(1，－1)．由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点．解得c1=4，c2=－3．d1＝－6，d2=－1．∴C(4，－3)，D(－6，－1)．解法二设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．∵M与N分别为AB与CD的中点，∴=．高考网(－2，1)，M(3，0)，N(－1，－2)．∴＝(5，－1)，=(－1－d1，－2－d2)．∴(5，－1)＝(－1－d1，－2－d2)．∴d1＝－6，d2=－1．即D(－6，－1)．又=，=(c1＋1，c2＋2)．∴(5，－1)＝(c1＋1，c2＋2)．解得c1＝4，c2＝－3．∴C(4，－3)．又=，=(b1－3，b2－0)＝(b1－3，b2)，(5，－1)＝(b1－3，b2)，∴b1＝8，b2=－1．∴B(8，－1)．12．∵＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∴＝＋＋=(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(4＋x，y－2)．又∵∥，∴∥．故x(y－2)－y(4＋x)＝0，高考网－2x－4y－xy＝0，∴x＋2y＝0．13．充分性(由＋＋=0推证G为△ABC重心)．如图，延长AG到D，使GD=AG，且AD与BC交于M，连结BD，CD．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)，即＝＋．又∵=，∴=＋．由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形．由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD的中点．∴AM是中线，且G在AM上．又＝，＝2，∴＝2，高考网∴＝，∴G为△ABC的重心．下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证＋＋=0)．如图，延长AG与BC交于D点，∴AD为BC边中线，D为BC中点．∵G是△ABC的重心，由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝2．又由于G为△ABC的重心，∴＝2．∴＝＋．于是＋＋=0．必要性的证明也可用例5的结论．14．证法一在平面上任取一点O，高考网∵K和L分别为MN和PQ的中点，连结AC，EC，在△ABC和△EDC中，有证法二坐标法．高考网(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，E(e1，e2)．由中点坐标公式可得同理可求得而=(e1－a1，e2－a2)，15．证法一∵K分的比为λ，又B，K，F三点共线，高考网由于与不共线，以与为一组基底表示是唯一的．由①与②可得两式相除，消去t，得证法二设B(0，0)，A(a1，a2)，C(c1，c2)，则=(a1，a2)，=(c1，c2)，=＋=(a1＋c1，a2＋c2)．∵B，K，F三点共线，即与共线．高考网∴k1f2－k2f1＝0，∴(2c1＋λa1)[na2＋m(a2＋c2)]－(2c2＋λa2)·[na1＋m(a1＋c1)]=0．整理为2(m＋n)(c1a2－c2a1)－λm(a1c2－a2c1)=0，∵与不共线，∴a1c2－a2c1≠0，