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高考网本资料来源于《七彩教育网》平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角α．于是高考网＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的夹角θ．【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解．【解】由a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），二式相加，解得a=（－3，4）；二式相减，解得b=（5，－12）．于是a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积．例3已知两个向量a=（3，4），b=（2，－1），当a+xb与a－b垂直时，求x的值．【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式．【解法一】∵（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0．高考网·b=3×2＋4×（－1）=2，∴25+（x－1）×2－5x=0．【解法二】∵a=（3，4），b=（2，－1），∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x），a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）．由于（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0，从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0，2x+3+20－5x=0，【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐标两种形式的思路．例4平面内三点A，B，C在一条直线上，=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），且⊥，求实数m，n的值．高考网【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量⊥，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这两个关系式联立求解即可．【解】∵A，B，C三点在一条直线上，∴向量与共线．于是，存在实数λ，使=λ．又=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），∴=－=（7，－1－m），=－=（n+2，1－m）．∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）．故有二式相除，消去λ，得∴mn－5m+n+9=0．①又⊥，∴·=0，即（－2）×n+m×1=0，高考网－2n=0．②由②得m=2n，代入①，得相应的m=6，m=3．【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为=（7，－1－m），＝（n＋2，1－m），与共线，所以7×（1－m）－（n＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn－5m+n+9=0．例5平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．【分析】因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据·的最小值，求得，而cos∠AXB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．【解】（1）设=（x，y）．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），高考网∴x×1－y×2=0，即x=2y．∴=（2y，y）．又=－，OA=（1，7），∴=（1－2y，7－y）．同样=－=（5－2y，1－y）．于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）有最小值－8．此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1），·=（－3）×1＋5×（－1）=－8．高考网【说明】由于X是OP上的动点，则向量，均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积·也处在不确定的状态，这个数量积由与的模||与||及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．例6如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，自A向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以、为基底表示图中的向量，其中⊥是最可利用的条件．又=－，，于是可建立m与n的关系式．【解】设=a，=c，BE∶EC=m∶n，则又=+=c+a，高考网且⊥，∴·=0，∴4m－n－（m+n）=0．∴3m=2n．∴m∶n=2∶3．故BE∶EC=2∶3．例7如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．【证法一】∵AD⊥BC，H在AD上，∴⊥．而=－，高考网∴（－）·=0．∴·－·=0．①又⊥，∴·=0，即（－）·=0，·－·=0．②注意到①，②式中·=·，故①－②，得·（－）=0，即·（＋）=0，·=0．∴⊥，即CH⊥AB．高考网【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O．∵=－，⊥，∴·=0，即（－）·（－）=0．∴·（－）=·（－）．①同理，由⊥，可得·（－）=·（－）．②①+②，得·（－）=·－·，即·（－）=·（－），（－）·（－）=0，·=0，∴⊥，故CH⊥AB．【说明】用向量法证明CH⊥AB，只要证得·=0即可．因此证明中，都将已知条件中的·=0，·=0，运用减法的意义，将，分解成含的形式，再构造出·的形式，寻求结论．证法二中，在平高考网，使图中所用向量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法应注意学习和使用．例8设平面内有两个向量a=（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π．（1）证明（a＋b）⊥（a－b）；（2）若两个向量ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值（k≠0，k∈R）．【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（a＋b）·（a－b）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|a－kb|相等，确定β－α的值．【解】（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），∴a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ），a－b=（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．∴（a＋b）·（a－b）=（cosα＋cosβ）（cosα－cosβ）＋（sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）=1－1=0．∴（a＋b）⊥（a－b）．证得结论．高考网于是（*）式化为4kcos（α－β）=0．由于k∈R，k≠0，∴cos（α－β）=0，即cos（β－α）=0．而0＜α＜β＜π，【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中a＋b与a－b垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知|ka+b|=|a－kb|时，a与b的夹角为|α－β|=90°．因为a·b=cos（α－β），a·b=|a|·|b|cosθ．故cos（α－β）=cosθ，又0＜α＜β＜π，有θ=|α－β|（θ为a与b的夹角）．这时a⊥b．此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形．例9现有7个向量，其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量的和的长度相等，求证这7个向量的和向量是零向量．两边平方，得高考网即|α|=0．∴α=0．例10（1）将点A（2，4）按向量a=（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是_______．【解】（1）设A′点的坐标为（x′，y′），由平移公式得∴A′（－3，2）．（2）设平移向量a=（h，k）．高考网