高一数学竞赛试题卷

高考网高一数学竞赛试题卷命题人：李玉明审题：望中数研组(December24,2006)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：120分钟满分：150分）【说明】解答本试卷不得使用计算器★祝你考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，45分）一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）1．已知集合M={x|x∈N且8－x∈N}，则集合M的元素个数为（）A．10B．9C．8D．72．函数2,12,1:f满足xfxff，则这样的函数个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数3log3xy的图象是（）A．B．C．D．4．已知函数22)(2axxxf，当),1[x时，axf)(恒成立，则a的取值范围是（）A．12aB．12aC．23aD．13a5．若)21(),0(1)]([,21)(22gxxxxfgxxf则的值为()A．1B．3C．15D．306.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞,－1)上是减函数，则a的取值范围是txCj()CＡ．a＞2Ｂ．a＜2Ｃ．a≥2Ｄ．a≥-27．如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：tay(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述①第4个月时，剩留量就会低于51；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为81,41,21所经过的时间分别是321,,ttt，则321ttt.其中所有正确的叙述是()CA．①②③B．①②C．①③D．②③(2,94)O1234y1t(月)高考网＝xf11)(,记1fxfx,若，xffxfnn))(()(1则＝xf)(2006()A．xＢ．-x1Ｃ．xx11Ｄ．11xx9．已知函数)12(xfy是定义在R上的奇函数，函数)(xgy的图像与函数)(xfy的图像关于直线0yx对称，若)()(,02121xgxgxx则（）A．0B．1C．2D.－2第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）10.已知函数,)10(1)01(1)(xxxxxf则1)()(xfxf的解集为.11.函数322)(aaxxf（常数aZ）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则)2(f=.12.函数），在（10)0(23)(2ababxaxxf上零点的个数为.13.将2n个正整数1，2，3，…，2n填入到nn个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方。如右图就是一个3阶幻方。定义)(nf为n阶幻方对角线上数的和。例如15)3(f，那么)4(f=.14.设数集43mxmxM，nxnxN31，且NM,都是集合10xx的子集，如果把ab叫做集合bxax的“长度”，那么集合NM的“长度”的最小值是.15.下列命题中①对于每一个实数x，xyxyxf和是22)(这两个函数中的较小者，则)(xf的最大值是1.②已知3lg1xxx是方程的根，3102xxx是方程的根，则321xx.③函数babxaxxf3)(2是偶函数，其定义域为[a－1，2a]，则)(xf的图象是以(0，1)为顶点，开口向下的抛物线.816357492高考网④若集合P={+Nx|x=3m+1,m},Q={+Nx|x=5n+2,n}，则+PQN={x|x=15m-8,m}⑤若函数()fx在(,)上递增，且0ab，则()()()()fafbfafb．其中正确的命题的序号是________.三、解答题（共5小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题10分）已知集合A={x|x2-5x-6=0},集合B={x|mx+1=0}若ABA求实数m组成的集合.17．（本小题12分）若非零函数)(xf对任意实数ba,均有()()()fabfafb，且当0x时，1)(xf；（Ⅰ）求证：()0fx；（Ⅱ）求证：判断函数)(xf的奇偶性；（Ⅲ）当161)4(f时，解不等式41)5()3(2xfxf18．（本小题12分）某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费（即电话费）与网络维护费两部分。现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/分钟，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时。（Ⅰ）将该网民在某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜。19．(本小题15分)已知关于x的方程:22(1)260xaxa，（Ⅰ）若方程有两个实根,求实数a的范围；（Ⅱ）若方程有两个实根，且两根都在区间1,内,求实数a的范围；（Ⅲ）设函数2()2(1)26,1,1fxxaxax，记此函数的最大值为()Ma，最小值为()Na，求()Ma、()Na的解析式。20．（本小题20分）设S表示所有大于--1的实数组成的集合，确定所有函数SSf:,满足以下两个条件：（Ⅰ）对于S内的所有x和y，都有);()())()((xyfxfyyxfyfxf（Ⅱ）在区间（--1，0）与（0，+∞）内，xxf)(都是严格．．递增的。高考网年度高一数学竞赛答案命题人：李玉明审题：望中数研组(December23,2006)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：120分钟满分：150分）【说明】解答本试卷不得使用计算器班级：姓名：第Ⅰ卷（选择题，45分）一、选择题：（每题5分，共45分）题号123456789答案BCADCCCBD第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题：（每题6分，共36分）10.11.12.13.14.15.三、解答题（共5小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.本小题10分）解：A={-1,6}ABABA,（Ⅰ）B时，m=0（Ⅱ）B时，}1{mB当11m时，解的m=1,当61m时，解得61m综上m的取值集合是}61,1,0{.高考网（本小题12分）解：（Ⅰ）2()()()[()]0,222xxxfxfff又()0,fx则()0fx。（Ⅱ）令0ab，2(0)(0)(0)1fff或(0)0f（舍去）令0ab，得1()()1,()()fxfxfxfx，设定义域内的两个实数12,xx，且12xx，则120xx，112122()()()()1,()0()fxfxxfxfxfxfx且，所以12()(),()fxfxfx则为减函数。（Ⅲ）11(4)(2)(2)(2)164ffff，21(3)(5)(2)4fxfxf即22(2)(2),()2201fxxffxRxxx且是上的减函数，则，得，故原不等式的解集是{|01}xx18．（Ⅰ）)25(30)2510(2.2t)100(2.110ttttty（Ⅱ）上网时间超过60小时则在家上网便宜。（解题过程略）高考网(本小题15分)解：（Ⅰ）方程有两个实根时，得2[2(-1)]4(2+6)0aa解得-15aa或（Ⅱ）令2f()=+2(-1)+2+6xxaxa由题意得2(1)12(1)2602(1)112[2(-1)]4(2+6)0faaaaaa解得5-14a（Ⅲ）2f()=+2(-1)+2+6xxaxa对称轴为1xa，顶点为21,45aaa当11,a即2a时()(1)45,()(1)9MafaNaf当110a即12a时2()(1)45,()(1)45MafaNafaaa当011a即01a时2()(1)9,()(1)45MafNafaaa当11a，即0a时()(1)9,()(1)45MafNafa∴综上所述45(1)()9(1)aaMaa，29(2)()45(02)45(0)aNaaaaaa高考网(本小题20分)