高一数学第三章章末检测b

第3章三角恒等变换(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是______．2．sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝________.3．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)＝__________.4．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是________．5．化简：sin60°＋θ＋cos120°sinθcosθ的结果为______．6．已知sinαcosβ＝1，则sin(α－β)＝________.7．若函数f(x)＝sin(x＋π3)＋asin(x－π6)的一条对称轴方程为x＝π2，则a＝________.8．函数y＝12sin2x＋sin2x，x∈R的值域是______．9．若3sinθ＝cosθ，则cos2θ＋sin2θ的值等于______．10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)tanα的值为________．11．若cosθ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线________上．12．若0απ2βπ，且cosβ＝－13，sin(α＋β)＝13，则cosα＝________.13．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．14．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)在[－π4，0]上为减函数的所有θ的集合为______．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．16．(14分)已知函数f(x)＝2cosxsinx＋23cos2x－3.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；(3)求函数f(x)的单调增区间．17．(14分)已知向量a＝(cos3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，且x∈[－π3，π4]．(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．18．(16分)已知△ABC的内角B满足2cos2B－8cosB＋5＝0，若BC→＝a，CA→＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．(1)求角B；(2)求sin(B＋θ)．19．(16分)已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f(32α＋π2)＝2326，求sinα＋π4cos4π＋2α的值．20．(16分)已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sin(π2＋φ)(0φπ)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值．第3章三角恒等变换(B)1.π2解析∵f(x)＝12[1－cos(4x－π2)]＝12－12sin4x∴T＝2π4＝π2.2．1解析原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.3.17解析∵α∈(π2，π)，sinα＝35，∴cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝1－341＋34＝17.4．[－π6，0]解析f(x)＝sinx－3cosx＝2sin(x－π3)．令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)，令k＝0得－π6≤x≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．5.32解析原式＝sin60°cosθ＋cos60°sinθ－12sinθcosθ＝sin60°cosθcosθ＝sin60°＝32.6．1解析∵sinαcosβ＝1，∴sinα＝cosβ＝1，或sinα＝cosβ＝－1，∴cosα＝sinβ＝0.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝sinαcosβ＝1.7.3解析f(x)＝sin(x＋π3)－asin(π6－x)＝sin(x＋π3)－acos(π3＋x)＝1＋a2sin(x＋π3－φ)∴f(π2)＝sin5π6＋asinπ3＝32a＋12＝1＋a2.解得a＝3.8.1－22，1＋22解析y＝12sin2x＋sin2x＝12sin2x＋1－cos2x2＝12sin2x－12cos2x＋12＝22sin(2x－π4)＋12，∵x∈R，∴－1≤sin(2x－π4)≤1，∴y∈[－22＋12，22＋12]．9.75解析∵3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝13.cos2θ＋sin2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sinθcosθ＝cos2θ＋2sinθcosθ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1＋2tanθ－tan2θ1＋tan2θ＝1＋2×13－191＋19＝75.10．－4解析3cos(2α＋β)＋5cosβ＝3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，∴2sin(α＋β)sinα＝－8cos(α＋β)cosα，∴tan(α＋β)tanα＝－4.11．24x－7y＝0解析cosθ2＝35，sinθ2＝－45，tanθ2＝－43，∴tanθ＝2tanθ21－tan2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．12.429解析cosβ＝－13，sinβ＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(－223)×(－13)＋223×13＝429.13．1解析令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝sinα＋cos(α＋30°)＝sinα＋cosαcos30°－sinαsin30°＝12sinα＋32cosα＝sin(α＋60°)．∴ymax＝1.14.θ|θ＝2kπ＋2π3，k∈Z解析∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sinθ＋3cosθ＝0.∴tanθ＝－3.∴θ＝kπ－π3，(k∈Z)．∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋π3)＝2sin(2x＋kπ)．当k为偶数时，f(x)＝2sin2x，不合题意；当k为奇数时，f(x)＝－2sin2x，函数在－π4，0上为减函数．∴f(x)＝－2sin2x，∴θ＝2π3＋2kπ，k∈Z.15．解(1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cosα＝－55，α∈(0，π)⇒sinα＝255.sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.(2)∵cosα＝－55，sinα＝255⇒sin2α＝－45，cos2α＝－35.cos(2α－3π4)＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.16．解(1)原式＝sin2x＋3cos2x＝2(12sin2x＋32cos2x)＝2(sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3)＝2sin(2x＋π3)．∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)当2x＋π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π12(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.当2x＋π3＝2kπ－π2，即x＝kπ－5π12(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的递增区间为[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z)．17．解(1)a·b＝cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|，∵x∈[－π3，π4]，∴cosx0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2(cosx－12)2－32.∵x∈[－π3，π4]．∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.18．解(1)2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，即4cos2B－8cosB＋3＝0，得cosB＝12.又B为△ABC的内角，∴B＝60°.(2)∵cosθ＝a·b|a|·|b|＝－35，∴sinθ＝45.∴sin(B＋θ)＝sinBcosθ＋cosBsinθ＝4－3310.19．解(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cosωx·(cosωx＋3sinωx)＝1＋cos2ωx2＋3sin2ωx2＝sin(2ωx＋π6)＋12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω0，所以ω＝13.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x3＋π6)＋12，所以f(32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cosα＋12＝2326.解得cosα＝513.因为α是第一象限角，故sinα＝1213.所以sinα＋π4cos4π＋2α＝sinα＋π4cos2α＝22sinα＋22cosαcos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝－13214.20．解(1)因为f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sin(π2＋φ)(0φπ)，所以f(x)＝12sin2xsinφ＋1＋cos2x2cosφ－12cosφ＝12sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)．又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0φπ，所以φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos(2x－π3)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cos(4x－π3)，因为x∈[0，π4]，所以4x∈[0，π]，因此4x－π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x－π3)≤1.所以y＝g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.