专升本证明题

第1页共20页证明题一、方程0)(xf的根例如：又例：证明方程1lnexx，在区间),0(内有两个实根第2页共20页（3）利用罗尔定理证明方程的根存在把所给方程一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。二、证明不等式第3页共20页例如（3）利用函数图形的凹凸性证明不等式例如).,0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx证明不等式证),0(ln)(ttttf令,1ln)(ttf则,01)(ttf.0,0),,(),(ln)(是凹的或在yxxyyxtttf)2()]()([21yxfyfxf于是,2ln2]lnln[21yxyxyyxx即第4页共20页.2ln)(lnlnyxyxyyxx即（4）利用拉格朗日中值定理（罗尔定理）证明不等式。把式子变形出现两个函数值之差，构造函数，确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理，求出导数，对导数进行放大和缩小例如以上方法的共同特点是：选取变量构造辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。构造辅助函数的基本思想是：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。在做此类题时，证明代数式不等式一般用中值定理；证明函数不等式一般用单调性；证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。三、证明等式成立（1）利用罗尔定理（拉格朗日中值定理）证明等式成立把所给等式一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。例如第5页共20页（2）其它举例1.设20cosnnIxdx，试证21nnnIIn，并计算7270cosIxdx.证明：12200coscossinnnnIxdxxdx1222200cossinsin(1)cosnnxxxnxdx2220(1)(1cos)cosnnxxdx22200(1)cos(1)cosnnnxdxnxdx2(1)(1)nnnInI;即有2(1)(1)nnnInInI，故21nnnIIn.7275310664642cos775753IxdxIII，而22100cossin1Ixdxx，所以727048cos105Ixdx.2.证明：设baxf,)(在上连续，有：.)()()(10dxxabafabdxxfba证明：令()xabat，则0;1xatxbt，()dxbadt；于是，有：第6页共20页110010()[()]()()[()]()[()]bafxdxfabatbadtbafabatdtbafabaxdx3.若函数)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且0)1(f，试证：至少存在一点)1,0(ξ，使得()2()0ff成立.证明：构造函数)()(2xfxxF，因)(xf在]1,0[上连续，所以函数)(xF在]1,0[上也连续，而)()(2)(2xfxxxfxF在)1,0(内有意义，又因为0)0(F，0)1()1(fF，所以)(xF在]1,0[上满足罗尔中值定理，故至少存在一点)1,0(ξ，使得0)ξ(F，即0)ξ(ξ)ξ(ξ22ff，而0ξ.所以有()2()0ff成立。4..证明方程xtdtx020113在区间)1,0(内有唯一实数根．证明：令)(xfxtdtx02113，则2113)(xxf在]1,0[上有意义，即有)(xf在]1,0[上连续；而0421arctan2)1(,01)0(ff，由零点定理知，至少存在一点)1,0(，使得0)(f，即方程0)(xf在)1,0(内至少有一个实数根．另一方面，0132113)(222xxxxf，知)(xf在)1,0(内是单调上升的，从而方程0)(xf在)1,0(内至多有一个实数根．综述，方程0)(xf在)1,0(内有唯一实数根，即方程xtdtx020113在区间)1,0(内有唯一实数根。5.、证明题第7页共20页当0x时，ln(1)1xxxx提示：令()lnftt在1,1x上满足拉格朗日中值定理。6.求证：当xxxxx1ln)1ln(1时，证：设()(1)ln(1)lnfxxxxx1()ln(1)lnln(1)0fxxxx所以()fx单调增加所以()(1)0fxf7.证明:方程ln（1+x2）=x－1有且仅有一个实根.证：由,1,0)1ln(2xx知故方程的成立范围为[1，+∞）；令F(x)=ln(1+x2)―x+1,因，F′(x)=22222221(1)10.111xxxxxxx所以，函数是单调递减的.又，当x=1时，F（1）=ln20，22ln(1)1lim[ln(1)1]lim[1]xxxxxxxx,又，222ln(1)11limlim0,lim01xxxxxxxx22ln(1)1lim[ln(1)1]lim[1]xxxxxxxx∴曲线y=F(x)与x轴有唯一的交点；第8页共20页即方程有且仅有一个实根.得证.8.证明：11111122(1,1)(1)lnnnnnaaaaannan。证明:构造函数(),lnxafxa显然在区间11,1nn上满足拉格朗日定理的条件，即111111(1)affannnnnn,其中111nn显然有11122(1)(1)nnaaannnn，故11111122(1,1)(1)lnnnnnaaaaannan成立.9.证明：()()()()bafgxdxgfxdx构造函数()()()xbaxFxftdtgtdt，----（1分）由于()()()()()bxxaFxfxgtdtgxftdt在[,]ab有意义，所以函数()Fx在[,]ab连续且可导，且()()0FaFb，即()Fx在[,]ab上满足罗尔中值定理，-----（4分）故存在(,)ab，使得()0F，即()()()()bafgxdxgfxdx.------（5分）10.试证：当1,0nba时，)()(11banababanbnnnn.第9页共20页证明:构造函数)1()(nxxfn,---（1分）显然，函数)1()(nxxfn在],[ab上连续且可导,满足拉格朗日定理,从而存在ab使得)()()(1banbfafn-----（3分）即)()(1abbanbannn---（4分）由因为)()()(111banabanbanbnnn,-----（5分）故)()(11banababanbnnnn.----（6分）11.对于任意x，试证：22arctanln(1)xxx都成立.证明:构造函数2()2arctanln(1)fxxxx,则令2222()2arctan2arctan011xxfxxxxx,得唯一驻点0x,又因为22()01fxx，所以函数曲线()fx是凹的，且在0x处有最小值2(0)20arctan0ln(10)0f.所以2()2arctanln(1)0fxxxx即22arctanln(1)xxx恒成立.说明：利用单调性证明不等式，其基本方法是：若要证明：当0xx有)()(xgxf.可令)()()(xgxfxF，如果)(xF满足下面的条件：（1）0)(0xF；（2）当0xx时，有0)(xF；则由)(xF为单调增加函数可知，当0xx时，0)()(0xFxF，即)()(xgxf.例如：设)0()0(gf，)0()0(gf，)()(xgxf，（x0）,求证第10页共20页)()(xgxf.证：12.设)(xf在点0x处连续，且Axxfx)(lim0（A为常数），证明)(xf在点0x处可导；证Axxfx)(lim0，则)(lim0xfxxxxfx)(lim00A0，又因为)(xf在点0x处连续，所以)0()(lim0fxfx，则0)0(f，于是Axxfxxfxfxffxxx)(lim0)(lim)0()(lim)0(000，所以)(xf在点0x处可导，且Af)0(．13.证明：当2π0x时,sinxxx36；证一令6sin)(3xxxxf，则21cos)(2xxxf，xxxfsin)(，第11页共20页0cos11cos)(xxxf)2π0(x，所以)(xf在]2π,0[上连续且单调增加，则0)0()(fxf，所以)(xf在]2π,0[上连续且单调增加，则0)0()(fxf，所以)(xf在]2π,0[上连续且单调增加，则0)0()(fxf，即06sin)(3xxxxf，也即sinxxx36)2π0(x．证二令6sin)(3xxxxf，则2sin22cos1221cos)(2222xxxxxxxf，当2π0x时，有22sinxx0)2(222sin22)(2222xxxxxf，所以当2π0x时，函数6sin)(3xxxxf单调增加，有0)0()(fxf，即06sin)(3xxxxf，也即sinxxx36)2π0(x．14.证明axxfx023d)(xxxfad)(2120.第12页共20页证令tx2)0(x,则tx,ttxd21d21，且当0x时，0t;当ax时，2at.于是axxfx023d)(=202123d21)(atttft=20d)(21atttf=xxxfad)(2120．15.设)(xf在],[ba上有连续导数，且0)()(bfaf,1d)(2baxxf，求证21d)()(baxxfxxf;证一baxxfxxfd)()(baxfxxf)(d)(babaxxfxfxfxxf)(d)()()(babaxxfxxfxfxxfd)()()()(2babaxxfxxfxxfd)()(d)(02，移项，有baxxfxxfd)()(21d)(2baxxf，所以baxxfxxf21d)()(．证二baxxfxxfd)()(baxfxxf)(d)(baxfx)(d212]d)()([2122babaxxfxxfbaxxfaafbbfd)(21)()(21222121021，即baxxfxxf21d)()(．16,sin3sin2sinsin)(321nxaxaxaxaxfn设，为实常数且naaaxxf21,,sin)(.1221nnaaa求证：xffxf)()0()(证xnnaaan)cos2cos2cos(21第13页共20页17.x)/1,0(a),/1(aa/1)(xf0)(xf最大值.)0(ln有几个实根方程aaxx./1,1)();,0(ln)(axaxx