高三数学平面向量一轮复习

第七章平面向量1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．向量概念向量的模相等的向量单位向量零向量运算向量的加法向量的减法实数与向量的乘积向量的数量积平面向量的坐标运算平移公式线段的定比分点解三角形余弦定理正弦定理任意三角形的面积公式向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．主要考查：1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用．3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时向量的概念与几何运算1．向量的有关概念基础过关知识网络考纲导读高考导航⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律．⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向．3．实数与向量的积⑴实数与向量a的积是一个向量，记作a．它的长度与方向规定如下：①|a|＝．②当＞0时，a的方向与a的方向；当＜0时，a的方向与a的方向；当＝0时，a．⑵(μa)＝．(＋μ)a＝．(a＋b)＝．⑶共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使得．⑵设1e、2e是一组基底，a＝2111eyex，b＝2212eyex，则a与b共线的充要条件是．例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设aAB，bAC，求BE．解：BE＝AE－AB＝41(AB＋AC)－AB＝－43a＋41b变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于（）A．－BC＋BA21B．－BC－BA21C．BC－BA21D．BC＋BA21解:A典型例题ADBC例2.已知向量2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使bac．解:c＝λa＋μb21e－92e＝(2λ＋2μ)1e＋(－3λ＋3μ)2e2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：POPDPCPBPA4证明PA＋PC＝2PO，PB＋PD＝2POPA＋PB＋PC＋PD＝4PO例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若aAB，bAD，试用a、b表示BC和MN．解：连NC，则bADNCbaCNABCNMCMN4141；abNBNCBC21变式训练3：如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝31BC，CN＝31CD，试用a、b表示OM，ON，MN．解:OM＝61a＋65b，ON＝32a＋32b，MN＝21a－61b例4.设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，31(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解：设])(31[baabta(∈R)化简整理得：0)31()132(bta∵不共线与ba，∴2123030132tt故21t时，)(31,,babta三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OAaOBbOCcODdOEe，设tR，如果3,2,acbd()etab，那么t为何值时，,,CDE三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CDdcbaCEectatb，,,CDE三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(3)32tatbkakb，整理得(33)(2)tkaktb.①若,ab共线，则t可为任意实数；②若,ab不共线，则有33020tktk，解之得，65t.BOADCNM综上，,ab共线时，则t可为任意实数；,ab不共线时，65t.1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作．并且|a|＝．2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若a＝(x1、y1)，b＝(x2、y2)，λ∈R，则：a＋b＝a－b＝λa＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB＝．4．两个向量a＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是．例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且AC＝31AB，求点C的坐标．解AC＝31AB＝(－1，32)，OC＝ACOA＝(1,311)，即C(1,311)变式训练1.若(2,8)OA，(7,2)OB，则31AB=.解:(3,2)提示：(9,6)ABOBOA例2.已知向量a＝(cos2，sin2)，b＝(cos2，sin2)，|a－b|＝552，求cos(α－β)的值．解:|a－b|＝55222552)cos(2cos22552＝55222552)cos(cos2＝53cos(α－β)＝257变式训练2.已知a－2b＝(－3，1)，2a＋b＝(－1，2)，求a＋b．小结归纳典型例题基础过关解a＝(－1，1)，b＝(1，0)，∴a＋b＝(0，1)例3.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，1e＝a＋2b，2e＝2a－b，且1e∥2e，求x．解:1e＝(1＋2x，4)，2e＝(2－x，3)，1e∥2e3(1＋2x)＝4(2－x)x＝21变式训练3.设a＝(ksinθ,1)，b＝(2－cosθ,1)(0θπ)，a∥b，求证：k≥3．证明:k＝sincos2∴k－3＝sin)3cos(22≥0∴k≥3例4.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1)若AD＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00yxDBADAC得x0＝10y0＝6即点C(10，6)(2)∵ADAB∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36(y≠1)∵M为AB的中点∴P分BD的比为21设P(x，y)，由B(7，1)则D(3x－14，3y－2)∴点P的轨迹方程为)1(4)1()5(22yyx变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标．解已知A(0，1)，B(－3，4)设C(0，5)，D(－3，9)则四边形OBDC为菱形∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD∵2103OCOD∴)5103,510(1032ODOC1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ小结归纳基础过关AMBCDP(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的．当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a·b＝．3．向量的数量积的几何意义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影(θ是向量a与b的夹角)．a·b的几何意义是，数量a·b等于．4．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角．⑴e·a＝a·e＝⑵a⊥b⑶当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．⑷cosθ＝．⑸|a·b|≤5．向量数量积的运算律：⑴a·b＝；⑵(λa)·b＝＝a·(λb)⑶(a＋b)·c＝例1.已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求：(2a＋3b)·(3a－2b)．解:(2a＋3b)(3a－2b)＝－4变式训练1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．解:56例2.已知向量a＝(sin，1)，b＝(1，cos)，－22．(1)若a⊥b，求；典型例题(2)求|a＋b|的最大值．解：(1)若ba，则0cossin即1tan而)2,2(，所以4(2))4sin(223)cos(sin23ba当4时，ba的最大值为12变式训练2：已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0．(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数)．证明：222222()()(cossin)(cossin)0abababab与ab互相垂直（2）ka(coscos,sinsin)bkk,ak(coscos,sinsin)bkk,212cos()kabkk,212cos()akbkk,而2212cos()12cos()kkkkcos()0，2例3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，判断△ABC是哪类三角形．解:设BC的中点为D，则(OCOB)(OAOCOB2)＝02BC·AD＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)ABC，则△ABC的形状是.解:直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,ABACABACABAC例4.已知向量m＝(cosθ,sinθ)和n＝(2－sinθ,cosθ)θ∈(π,2π)且|n