高中人教A版数学必修4第11课时正弦函数余弦函数的性质1周期性奇偶性Word版含解

第11课时正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．识记强化1．周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(2)y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y＝Asin(wx＋φ)，x∈R及y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数且A≠0，ω0)的周期为T＝2πω.3．y＝sinx，x∈R是奇函数，y＝cosx，x∈R是偶函数；sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx.4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是()A．当x＝π2时，sinx＋π6≠sinx，所以π6不是f(x)＝sinx的周期B．当x＝5π12时，sinx＋π6＝sinx，所以π6是f(x)＝sinx的一个周期C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期D．因为cosπ2－x＝sinx，所以π2是y＝cosx的一个周期答案：A解析：T是f(x)的周期，对应f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立．2．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为()A.π3B．3πC.2π3D.3π2答案：C解析：该函数的最小正周期T＝2πω＝2π3.3．函数y＝cosπ4－x3的最小正周期是()A．πB．6πC．4πD．8π答案：B解析：最小正周期公式T＝2π|ω|＝2π|－13|＝6π.4．下列函数中，最小正周期为π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sinx2D．y＝cos2x答案：D解析：A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sinx2的最小正周期为T＝2πω＝4π，故C项不符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝2πω＝π，故D项符合题意．故选D.5．函数f(x)＝xsinπ2－x()A．是奇函数B．是非奇非偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsinπ2－x＝xcosx，∴f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．6．已知函数f(x)＝cossinx的定义域为R，则()A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数C．f(x)既是奇函数又是偶函数D．f(x)既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f(x)＝cossinx的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝cos[sin－x]＝cos－sinx＝cossinx＝f(x)，∴f(x)＝cossinx为偶函数．二、填空题7．若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sinx，则当x＜0时，f(x)＝________.答案：－x2－sinx解析：利用奇函数的定义求解．当x＜0时，－x＞0，因f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－sin(－x)]＝－x2－sinx.8．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________.答案：3解析：∵函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.9．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2015)＝7，则f(－2015)＝________.答案：－5解析：由f(2015)＝2015a＋bsin2015＋1＝7，得2015a＋bsin2015＝6，∴f(－2015)＝－2015a－bsin2015＋1＝－(2015a＋bsin2015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f(x)＝log12|sinx|.(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sinx|0⇒sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}∵0|sinx|≤1，∴log12|sinx|≥0，∴函数的值域是{y|y≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f(－x)＝log12|sin(－x)|＝log12|sinx|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(3)∵|sinx|在定义域{x|x≠kπ，k∈Z}内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f(x)＝log12|sinx|是周期函数，最小正周期为π.11．设f(x)＝log31－2sinx1＋2sinx.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)∵1－2sinx1＋2sinx0，∴－12sinx12，∴kπ－π6xkπ＋π6，k∈Z，∴该函数的定义域为xkπ－π6xkπ＋π6，k∈Z.(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f(－x)＝log31＋2sinx1－2sinx＝log31－2sinx1＋2sinx－1＝－log31－2sinx1＋2sinx＝－f(x)，∴该函数为奇函数．能力提升12．函数f(x)满足f(x＋2)＝－1fx，则f(x)的最小正周期是________．答案：4解析：f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)所以函数f(x)的最小正周期是4.13．求函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．解：设f(x)的最小正周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，对x∈R恒成立．即|sin(x＋T)|＋|cos(x＋T)|＝|sinx|＋|cosx|.令x＝0，得|sinT|＋|cosT|＝1.两边平方，得|sinT|·|cosT|＝0.∴角T的终边在坐标轴上．∴T＝kπ2(k∈N＋)．又fx＋π2＝|sinx＋π2|＋|cosx＋π2|＝|cosx|＋|－sinx|＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为π2.