高中人教A版数学必修4第12课时正弦函数余弦函数的性质2单调性最值Word版含解析

第12课时正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间．2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y＝sinx单调递增区间－π2＋2kπ，π2＋2kπk∈Z，单调递减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπk∈Z.x＝2kπ＋π2，k∈Z，y＝sinx取得最大值1，x＝2kπ＋3π2，k∈Z，y＝sinx取得最小值－1.2．y＝cosx单调递增区间[－π＋2kπ，2kπ]k∈Z，单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]k∈Z.x＝2kπ，k∈Z，y＝cosx取最大值1，x＝2kπ＋π，k∈Z，y＝cosx取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y＝cos2x－π3的单调递减区间是()A.kπ－π2，kπ＋5π12(k∈Z)B.kπ＋π3，kπ＋2π3(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)答案：C解析：∵2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋π6≤x≤kπ＋23π，k∈Z.2．函数y＝3cos2x＋π3＋1取得最大值时，x的值应为()A．2kπ－π3，k∈ZB．kπ－π6，k∈ZC．kπ－π3，k∈ZD．kπ＋π6，k∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x＋π3)＝1时，y有最大值，此时2x＋π3＝2kπ，k∈Z，变形为x＝kπ－π6，k∈Z.3．已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案：D解析：f(x)＝sinx－π2＝－cosx，所以f(x)是偶函数，故D错．4．函数y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域是()A.－32，12B.－12，32C.32，1D.12，1答案：B解析：由x∈0，π2，得x＋π6∈π6，2π3.故ymax＝cosπ6＝32，ymin＝cos2π3＝－12.所以，所求值域为－12，32.5．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π答案：C解析：画出y＝|sinx|的图象，如图．由图象可知，函数y＝|sinx|的一个递增区间是π，3π2.6．下列关系式中正确的是()A．sin11°cos10°sin168°B．sin168°sin11°cos10°C．sin11°sin168°cos10°D．sin168°cos10°sin11°答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°sin12°sin80°，即sin11°sin168°cos10°.二、填空题7．函数y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递增区间为________．答案：π2，π解析：因为sin(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递增区间，即求y＝sinx在－π2，π上的单调递减区间，易知为π2，π.8．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，则φ＝kπ－136π，k∈Z，当k＝2时，|φ|min＝π6.9．函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为________．答案：3解析：由y＝2＋cosx2－cosx，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝2y－2y＋1(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤2y－2y＋1≤1，解得13≤y≤3，所以函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y＝1－sinx2；(2)y＝log12(cos2x)．解：(1)由题意可知函数y＝sinx2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2kπ＋π2≤x2≤2kπ＋32π(k∈Z)，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．∴函数y＝1－sinx2的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．(2)由题意，得cos2x＞0，∴2kπ－π2＜2x＜2kπ＋π2，k∈Z，即kπ－π4＜x＜kπ＋π4，k∈Z.∵函数y＝log12x在定义域内单调递减，∴函数y＝cos2x(x∈(kπ－π4，kπ＋π4)，k∈Z)的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x只需满足2kπ＜2x＜2kπ＋π2，k∈Z.∴kπ＜x＜kπ＋π4，k∈Z.∴函数y＝log12(cos2x)的单调递增区间为(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.11．设a＞0,0≤x2π，若函数y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求该函数取得最大值和最小值时x的值．解：y＝cos2x－asinx＋b＝－(sinx＋a2)2＋a24＋b＋1，由－1≤sinx≤1，a＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a≤2，当sinx＝－a2时，ymax＝a24＋b＋1＝0，当sinx＝1时，ymin＝－(1＋a2)2＋a24＋b＋1＝－4，解得a＝2，b＝－2.②若a2＞1，即a＞2，当sinx＝－1时，ymax＝－(－1＋a2)2＋a24＋b＋1＝0，当sinx＝1时，ymin＝－(1＋a2)2＋a24＋b＋1＝－4，解得a＝2，b＝－2不合题意，舍去．综上，a＝2，b＝－2，当x＝3π2时，ymax＝0；当x＝π2时，ymin＝－4.能力提升12．定义运算a*b＝a，a≤b，b，ab.例如：1].答案：－1，22解析：在同一直角坐标系中作出y＝sinx和y＝cosx的图象，结合a*b的新定义可知．f(x)的最小值为－1，最大值为22，故其值域为－1，22.13．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2(k∈Z)得－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间是－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．据题意，－π3，π4⊆－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)．从而有－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω0，解得0ω≤32.故ω的取值范围是0，32.