高中人教A版数学必修4第2课时弧度制Word版含解析

第2课时弧度制课时目标1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad.2．弧长计算公式：l＝|α|·r(α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S＝12l·r或S＝12|α|·r2(α是弧度数且0α2π)．3．角度与弧度互化度数360°180°1°(180π)°弧度数2πππ1801课时作业一、选择题1．－315°化为弧度是()A．－43πB．－5π3C．－7π4D．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2cm的圆中，有一条弧长为π3cm，它所对的圆心角为()A.π6B.π3C.π2D.2π3答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是()A.5π6B.π3C.11π6D.2π3答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.4．下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：由弧度的定义，知D正确．5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B为()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π}答案：D解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，42π≤x≤3π；在k＝－1时，－2π≤x≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A∩B.6．下列终边相同的一组角是()A．kπ＋π2与k·90°，(k∈Z)B．(2k＋1)π与(4k±1)π，(k∈Z)C．kπ＋π6与2kπ±π6，(k∈Z)D.kπ3与kπ＋π3，(k∈Z)答案：B解析：(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z，都表示π的奇数倍．二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2rad.8．设集合M＝αα＝kπ2－π3，k∈Z，N＝{α|－παπ}，则M∩N＝________.答案：－56π，－π3，π6，23π解析：由－πkπ2－π3π，得－43k83.∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，∴M∩N＝－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，求火车经过10s后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R＝2km＝2000m，火车速度v＝30km/h＝253m/s，∴经过10s后火车转过的弧长l＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10s后转过的弧度数|α|＝lR＝25032000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π7π63π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r＝7π6＋2kπ(k∈Z)．又－5π≤r0，∴k＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r＝76π＋2kπ＜5π，∴k＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA围绕点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则θ等于()A．－4πB．－6πC．－8πD．－10π答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M＝xx＝mπ＋π6，m∈Z，N＝xx＝nπ2－π3，n∈Z，P＝xx＝kπ2＋π6，k∈Z，试确定M、N、P之间满足的关系．解：解法一：集合M＝xx＝mπ＋π6，m∈Z；N＝xx＝nπ2－π3，n∈Z＝xx＝2mπ2－π3或x＝2m＋12π－π3，m∈Z＝xx＝mπ－π3或x＝mπ＋π6，m∈Z；P＝xx＝kπ2＋π6，k∈Z＝xx＝2m2π＋π6或x＝2m－12π＋π6，m∈Z＝xx＝mπ＋π6或x＝mπ－π3，m∈Z.所以MN＝P.解法二：M＝xx＝mπ＋π6，m∈Z＝xx＝6m＋16π，m∈Z＝xx＝3·2m＋16π，m∈Z；N＝xx＝nπ2－π3，n∈Z＝xx＝3n－26π，n∈Z；P＝xx＝kπ2＋π6，k∈Z＝xx＝3k＋16π，k∈Z＝xx＝3n－26π，n∈Z＝N.所以MN＝P.