高中人教A版数学必修4第21课时平面向量基本定理Word版含解析

第21课时平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．能正确的运用平面向量基本定理解决问题．识记强化1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a和b，作OA→＝a、OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.课时作业一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是()A．a＝0，b≠0B．a＝3e，b＝－3e(e≠0)C．a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线)D．a＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共线)答案：C解析：由平面向量基本定理知，a，b不共线，∴选C.2．设a，b是不共线的两个非零向量，已知AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，AB→＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴2λ＝2p＝－λ，∴p＝－1.3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝e1，DC→＝e2，则OC→＝()A.12(e1＋e2)B.12(e1－e2)C.12(2e2－e1)D.12(e2－e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC→＝e1，DC→＝e2，所以OC→＝12(BC→＋DC→)＝12(e1＋e2)，故选A.4．已知非零向量OA→，OB→不共线，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0答案：A解析：由PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，∴x＝2＋2λy＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则AP→＝()A．λ(AB→＋AD→)，λ∈(0,1)B．λ(AB→＋BC→)，λ∈0，22C．λ(AB→－AD→)，λ∈(0,1)D．λ(AB→－BC→)，λ∈0，22答案：A解析：如图所示，AC→＝AB→＋AD→.又点P在AC上，∴AP→与AC→同向，且|AP→||AC→|，故AP→＝λ(AB→＋AD→)，λ∈(0,1)．6．若点O是▱ABCD的两条对角线AC与BD的交点，且AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1等于()A.AO→B.CO→C.BO→D.DO→答案：C解析：3e2－2e1＝12(6e2－4e1)＝12(BC→－AB→)＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝BO→.二、填空题7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋1－5k2e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案：－2或13解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或13.8．已知e1，e2是两个不共线向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.答案：－12解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在唯一的μ，使2e1－e2＝μ(e1＋λe2)＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－12.9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP→＝yAD→，AQ→＝xAB→，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ→∥BE→，则xy＝________.答案：12解析：∵PQ→＝AQ→－AP→＝xAB→－yAD→，由PQ→∥BE→，可设PQ→＝λBE→，即xAB→－yAD→＝λ(CE→－CB→)＝λ－12AB→＋AD→＝－λ2AB→＋λAD→，∴x＝－12λy＝－λ，则xy＝12.三、解答题10.如图，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，试用a，b表示MN→.解：由AN→＝3NC→，知N为AC的四等分点．MN→＝MC→＋CN→＝12AD→－14AC→＝12AD→－14(AB→＋AD→)＝－14AB→＋14AD→＝－14a＋14b.11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λa＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由2λ＋2μ＝2k，－3λ＋3μ＝－9k，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．能力提升12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案：43解析：选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝(12λ＋μ)AB→＋(λ＋12μ)AD→，于是得12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.13.如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.求证：B、E、F三点共线．证明：如图所示，延长AD到G，使AG→＝2AD→，连接BG、CG，得到平行四边形ABGC，则AG→＝a＋b，AD→＝12AG→＝12(a＋b)AE→＝23AD→＝13(a＋b)AF→＝12AC→＝12b，BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)．又BF→＝AF→－AB→＝12b－a＝12(b－2a)．所以BE→＝23BF→，又因为BE→与BF→有公共点B，所以B、E、F三点共线．