高中人教A版数学必修4第25课时平面向量的数量积的坐标表示模夹角Word版含解析

第25课时平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角课时目标1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．识记强化1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2．若有向线段AB→，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12；若AB→＝(x，y)，则|AB→|＝x2＋y2.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.课时作业一、选择题1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是()A．±2B．0C．－2D．2答案：B解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.2．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－3D．－3答案：D解析：向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝－62＝－3.选D.3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()A．－92B．0C．3D.152答案：C解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不等边三角形答案：C解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，∴AB→＝(1,1)，AC→＝(－4,3)，cosA＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝1×－4＋1×32×25＝－152＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．5．若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝()A.10B.102C.2D.22答案：C解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0得x＝－3.故a＋b＝(－1,1)．∴|a＋b|＝－12＋－12＝26．如图，在等腰直角三角形AOB中，设OA→＝a，OB→＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，OP→＝p，则p·(b－a)＝()A．－12B.12C．－32D.32答案：A解析：因为在等腰直角三角形AOB中，OA→＝a，OB→＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.由题意，可设OP→＝－14(b－a)＋λ·12(b＋a)，λ∈R，所以p·(b－a)＝－14(b－a)·(b－a)＋λ2(b＋a)·(b－a)＝－14(b－a)2＋λ2(|b|2－|a|2)＝－14(|a|2＋|b|2－2a·b)＝－14(1＋1－0)＝－12.二、填空题7．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.答案：5解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝5.8．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则OA→·OC→＝________.答案：14425解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴OC→·AB→＝0AC→∥AB→，即x，y·－4，3＝－4x＋3y＝03x＋4y－12＝0，解得x＝3625y＝4825，∴OA→·OC→＝4x＝14425.9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b0的实数x的取值集合为________．答案：x12x4解析：由题意可得(log2x)2－log2x－20⇒(log2x＋1)(log2x－2)0，所以－1log2x2，所以12x4.三、解答题10．已知O为坐标原点，OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得MA→⊥MB→？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA→⊥MB→，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM→＝(2,1)或OM→＝225，115.∴存在M(2,1)或M225，115满足题意．11．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－π2απ2.(1)若a⊥b，求α；(2)求|a＋b|的最大值．解：(1)由已知，得a·b＝0，即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.∵－π2απ2，∴α＝－π4.(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋22sinα＋π4.∵－π2απ2，∴－π4α＋π43π4，∴－22sinα＋π4≤1，即1|a＋b|2≤3＋22，∴1|a＋b|≤1＋2，即|a＋b|的最大值为1＋2.能力提升12．若a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈－π2，π2，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，2]B．[0，2)C．[1,2]D．[2，2]答案：D解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ＝2(1＋cosθ)∵θ∈－π2，π2，∴cosθ∈[0,1]．∴2≤2(1＋cosθ)≤4.∴2≤|a＋b|≤2.13．已知a＝(3，－1)，b＝(12，32)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，a·b＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b.由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝t3－3t4.∴k＋t2t＝14(t2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74.即当t＝－2时，k＋t2t有最小值－74.