高中人教A版数学必修4第30课时二倍角的正弦余弦和正切Word版含解析

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第30课时二倍角的正弦、余弦和正切课时目标掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及公式的变形;能灵活运用公式及其各种变形解题.识记强化1.二倍角正弦、余弦、正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=2tanα1-tan2α2.变形形式sinα=2sinα2cosα2,cosα=cos2α2-sin2α2=2cos2α2-1=1-2sin2α2tanα=2tanα21-tan2α21+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2课时作业一、选择题1.已知cosx=-14,x为第二象限角,那么sin2x=()A.-154B.±158C.-158D.158答案:C解析:因为cosx=-14,x为第二象限角,所以sinx=154,所以sin2x=2sinxcosx=2×154×-14=-158,故选C.2.已知α为锐角,且满足cos2α=sinα,则α等于()A.30°或270°B.45°C.60°D.30°答案:D解析:因为cos2α=1-2sin2α,故由题意,知2sin2α+sinα-1=0,即(sinα+1)(2sinα-1)=0.因为α为锐角,所以sinα=12,所以α=30°.故选D.3.已知sinα=35,且α∈π2,π,那么sin2αcos2α的值等于()A.-34B.-32C.34D.32答案:B解析:sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2sinαcosα=2tanα,∵sinα=35,α∈π2,π,∴cosα=-45,tanα=-34,2tanα=-32,故选B.4.化简1+sin8等于()A.sin4+cos4B.-sin4-cos4C.sin4D.cos4答案:B解析:1+sin8=sin24+cos24+2sin4cos4=sin4+cos42=|sin4+cos4|∵4∈(π,3π2),则sin4+cos40故1+sin8=-sin4-cos4.5.已知α为第三象限角,且cosα=-55,则tan2α的值为()A.-43B.43C.-34D.-2答案:A解析:由题意可得,sinα=-1-cos2α=-255,∴tanα=2,∴tan2α=2tanα1-tan2α=-43,故选A.6.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为()A.1+2B.2-1C.2D.2答案:A解析:y=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x+1=2sin(2x-π4)+1,∴y的最大值为2+1.二、填空题7.(cos75°-sin75°)(cos75°+sin75°)=________.答案:-32解析:(cos75°-sin75°)(cos75°+sin75°)=cos275°-sin275°=cos150°=-sin60°=-32.8.若θ∈(0,π),且sin2θ=-2425,则cosθ-sinθ=________.答案:-75解析:∵sin2θ=-2425,θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,cosθ-sinθ<0,又(cosθ-sinθ)2=1-sin2θ=4925,∴cosθ-sinθ=-75.9.已知θ∈(0,π),且sinθ-π4=210,则tan2θ=________.答案:-247解析:由sinθ-π4=210,得22(sinθ-cosθ)=210⇒sinθ-cosθ=15.解方程组sinθ-cosθ=15sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=45cosθ=35或sinθ=-35cosθ=-45.因为θ∈(0,π),所以sinθ0,所以sinθ=-35cosθ=-45不合题意,舍去,所以tanθ=43,所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2×431-432=-247.三、解答题10.已知tanα=17,tanβ=13,且α,β均为锐角,求α+2β的值.解:tan2β=2tanβ1-tan2β=34,tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.因为α,β均为锐角,且tanα=171,tanβ=131,所以α,β∈0,π4,所以α+2β∈0,3π4,所以α+2β=π4.11.已知函数f(x)=2cos2x+43sinx2cosx2cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间-π6,π4上的值域.解:(1)f(x)=2cos2x+43sinx2cosx2cosx=2cos2x+23sinxcosx=cos2x+1+3sin2x=2sin2x+π6+1,所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为x∈-π6,π4,所以2x+π6∈-π6,2π3,所以sin2x+π6∈-12,1,所以f(x)的值域为[0,3].能力提升12.已知sinx2-2cosx2=0.(1)求tanx的值;(2)求cos2xcos5π4+xsinπ+x的值.解:(1)由sinx2-2cosx2=0,知cosx2≠0,∴tanx2=2,∴tanx=2tanx21-tan2x2=2×21-22=-43.(2)由(1),知tanx=-43,∴cos2xcos5π4+xsinπ+x=cos2x-cosπ4+x-sinx=cos2x-sin2x22cosx-22sinxsinx=cosx-sinxcosx+sinx22cosx-sinxsinx=2×cosx+sinxsinx=2×1+tanxtanx=24.13.已知函数f(x)=-2sin(2x+π4)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.解析:(1)f(x)=-2sin(2x+π4)+6sinxcosx-2cos2x+1=-2sin2xcosπ4-2cos2x·sinπ4+3sin2x-cos2x=2(sin2x-cos2x)=22sin2x-π4.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间0,3π8上是增函数,在区间3π8,π2上是减函数,又f(0)=-2,f38π=22,f(π2)=2.故函数f(x)在区间0,π2上的最大值为22,最小值为-2.

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