高中人教A版数学必修4第30课时二倍角的正弦余弦和正切Word版含解析

第30课时二倍角的正弦、余弦和正切课时目标掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变形解题．识记强化1．二倍角正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α2．变形形式sinα＝2sinα2cosα2，cosα＝cos2α2－sin2α2＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2tanα＝2tanα21－tan2α21＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2课时作业一、选择题1．已知cosx＝－14，x为第二象限角，那么sin2x＝()A．－154B．±158C．－158D.158答案：C解析：因为cosx＝－14，x为第二象限角，所以sinx＝154，所以sin2x＝2sinxcosx＝2×154×－14＝－158，故选C.2．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()A．30°或270°B．45°C．60°D．30°答案：D解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝12，所以α＝30°.故选D.3．已知sinα＝35，且α∈π2，π，那么sin2αcos2α的值等于()A．－34B．－32C.34D.32答案：B解析：sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2tanα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，2tanα＝－32，故选B.4．化简1＋sin8等于()A．sin4＋cos4B．－sin4－cos4C．sin4D．cos4答案：B解析：1＋sin8＝sin24＋cos24＋2sin4cos4＝sin4＋cos42＝|sin4＋cos4|∵4∈(π，3π2)，则sin4＋cos40故1＋sin8＝－sin4－cos4.5．已知α为第三象限角，且cosα＝－55，则tan2α的值为()A．－43B.43C．－34D．－2答案：A解析：由题意可得，sinα＝－1－cos2α＝－255，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，故选A.6．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为()A．1＋2B.2－1C.2D．2答案：A解析：y＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－π4)＋1，∴y的最大值为2＋1.二、填空题7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.答案：－32解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－32.8．若θ∈(0，π)，且sin2θ＝－2425，则cosθ－sinθ＝________.答案：－75解析：∵sin2θ＝－2425，θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝4925，∴cosθ－sinθ＝－75.9．已知θ∈(0，π)，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________.答案：－247解析：由sinθ－π4＝210，得22(sinθ－cosθ)＝210⇒sinθ－cosθ＝15.解方程组sinθ－cosθ＝15sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝45cosθ＝35或sinθ＝－35cosθ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sinθ0，所以sinθ＝－35cosθ＝－45不合题意，舍去，所以tanθ＝43，所以tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×431－432＝－247.三、解答题10．已知tanα＝17，tanβ＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：tan2β＝2tanβ1－tan2β＝34，tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝1.因为α，β均为锐角，且tanα＝171，tanβ＝131，所以α，β∈0，π4，所以α＋2β∈0，3π4，所以α＋2β＝π4.11．已知函数f(x)＝2cos2x＋43sinx2cosx2cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间－π6，π4上的值域．解：(1)f(x)＝2cos2x＋43sinx2cosx2cosx＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋1＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为x∈－π6，π4，所以2x＋π6∈－π6，2π3，所以sin2x＋π6∈－12，1，所以f(x)的值域为[0,3]．能力提升12．已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2xcos5π4＋xsinπ＋x的值．解：(1)由sinx2－2cosx2＝0，知cosx2≠0，∴tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)，知tanx＝－43，∴cos2xcos5π4＋xsinπ＋x＝cos2x－cosπ4＋x－sinx＝cos2x－sin2x22cosx－22sinxsinx＝cosx－sinxcosx＋sinx22cosx－sinxsinx＝2×cosx＋sinxsinx＝2×1＋tanxtanx＝24.13．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋π4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝－2sin(2x＋π4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1＝－2sin2xcosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f38π＝22，f(π2)＝2.故函数f(x)在区间0，π2上的最大值为22，最小值为－2.