高中人教A版数学必修4第三章章末检测Word版含解析

第三章章末检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.2．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.53答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M＝xsinx＝12，N＝xcos2x＝12，则()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅答案：B解析：由cos2x＝1－2sin2x＝12，得sinx＝±12，故选B.4．已知sinθ2＝－45，cosθ2＝35，则角θ终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：∵sinθ＝2sinθ2cosθ2＝－24250，cosθ＝cos2θ2－sin2θ2＝－7250，∴θ终边在第三象限．5．函数f(x)＝lg(sin2x－cos2x)的定义域是()A.x2kπ－3π4x2kπ＋π4，k∈ZB.x2kπ＋π4x2kπ＋5π4，k∈ZC.xkπ－π4xkπ＋π4，k∈ZD.xkπ＋π4xkπ＋3π4，k∈Z答案：D解析：∵f(x)＝lg(sin2x－cos2x)＝lg(－cos2x)，∴－cos2x0，∴cos2x0，∴2kπ＋π22x2kπ＋3π2，k∈Z，∴kπ＋π4xkπ＋3π4，k∈Z.6．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A.－π8，0B．(0,0)C.－18，0D.18，0答案：C解析：由条件得f(x)＝2sinax＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a＝2π，故f(x)＝2sin2πx＋π4.将x＝－18代入得函数值为0.7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于()A.33B．1C.3D.6答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.8．关于x的方程sinx＋3cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是()A．[－2,2]B．(－2,2)C．(－2,0)D．(0,2)答案：A解析：sinx＋3cosx－a＝0，∴a＝sinx＋3cosx＝212sinx＋32cosx＝2sinx＋π3，－1≤sinx＋π3≤1，∴－2≤a≤2.9．若α，β为锐角，sinα＝255，sin(α＋β)＝35，则cosβ等于()A.255B.2525C.255或2525D．－2525答案：B解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，∵α为锐角cosα＝1－2025＝55，∴sin(α＋β)＝35＜sinα，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－1－925＝－45，∴cosβ＝－45×55＋255×35＝2525.10．函数y＝sinx2＋3cosx2的图象的一条对称轴方程为()A．x＝113πB．x＝53πC．x＝－53πD．x＝－π3答案：C解析：y＝sinx2＋3cosx2＝2sinx2＋π3，又f－53π＝2sin－56π＋π3＝2sin－π2＝－2，∴x＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝59，则sin2θ等于()A.223B．－223C.23D．－23答案：A解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝59，知sin2θcos2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sinθ·cosθ＝23，sin2θ＝223.12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2π4＋x和g(x)＝3cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为()A.2B.3C．2D．3答案：D解析：f(x)＝1－cosπ2＋2x＝1＋sin2x.|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－3cos2a|＝|2sin2a－π3＋1|≤3.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cosπ5cos25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sinπ5·2sinπ5cosπ5·cos2π5＝14sinπ5·2sin2π5cos25π＝14sinπ5sin45π＝14.14．已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．答案：－142解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝12＋cosα，∴12＋cosα2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－34＝0，∴cosα＝－1±74，∵α∈0，π2，∴cosα0，∴cosα＝7－14，∴sinα＝12＋cosα＝7＋14，∴cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－27＋14＋7－14＝－142.15．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值为________．答案：2327解析：∵cosα＝13，α∈0，π2，∴sinα＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.16．函数f(x)＝3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．答案：－3解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，∴tanα＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝－2－21＋－2×2＝43.18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，∴|a－b|＝cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝2－2cosα－β＝255，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f(x)＝－23sin2x＋sin2x＋3.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解：(1)f(x)＝3(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x0π12π37π125π6π2x＋π3π3π2π3π22π7π3f(x)320－203描点连线得图象，如图所示．20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0φπ2，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝15.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝55，sinθ＝255.(2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得，sinθcosφ－cosθsinφ＝1010⇒sinφ＝2cosφ－22，∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－22cosφ＋12＝1⇒5cos2φ－22cosφ－12＝0.解得cosφ＝22或cosφ＝－210，∵0φπ2，∴cosφ＝22.解法二：∵0θ，φπ2，∴－π2θ－φπ2.所以cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝31010.故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.21．(12分)已知函数f(x)＝2sinx＋2cos(x－π)．(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若函数f(x)的图象过点α，65，π4α3π4，求fπ4＋α的值．解：(1)由题意得，f(x)＝2sinx＋2cos(x－π)＝2sinx－2cosx＝2sinx－π4，因为－1≤sinx－π4≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.(2)因为函数f(x)过点α，65，所以f(α)＝65⇒2sinα－π4＝65⇒sinα－π4＝35，因为π4α3π4，所以0α－π4π2⇒cosα－π40⇒cosα－π4＝1－sin2α－π4＝45，所以fπ4＋α＝2sinα＝2sinα－π4＋π4＝2sinα－π4cosπ4＋2cosα－π4sinπ4⇒fπ4＋α＝725.22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2π4＋B2＋3cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(B)＝4cosB·1－cosπ2＋B2＋3cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋3cos2B－2cosB＝sin2B＋3cos2B＝2sin2B＋π3.∵f(B)＝2，∴2sin2B＋π3＝2.∵B是△ABC的内角，∴2B＋π3＝π2，则B＝π12.(2)若f(B)－m2恒成立，即2sin2B＋π32＋m恒成立．∵0Bπ，∴π32B＋π373π，∴2sin2B＋π3∈[－2,2]，∴2＋m－2，即m－4.