高中数学人教A必修5学业分层测评11等差数列前n项和的综合应用Word版含解析

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝()A．14B．19C．28D．60【解析】在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14.【答案】A2．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是()A．S7B．S8C．S13D．S15【解析】a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝3a7＝3×a1＋a132＝313×13a1＋a132＝313S13.于是可知S13是常数．【答案】C3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【解析】由S12＝12a1＋66d0，S13＝13a1＋78d0，得a1＋112d0，a1＋6d0，所以a70，a6－d2，故|a6||a7|.【答案】C4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【解析】∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.【答案】B5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n＋1nB.n＋1nC.n－1nD．n＋12n【解析】∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋a2n2.又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S奇S偶＝n＋1n.故选B.【答案】B二、填空题6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝.【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.【答案】57．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k＝.【解析】∵an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，∴an＝2n－10.由52k－108，得7.5k9，∴k＝8.【答案】88．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝时，Sn取到最大值．【解析】∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a10，∴a1a2a3a4a5a6＝0，a70.故当n＝5或6时，Sn最大．【答案】5或6三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？【解】(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋nn－12·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二由(1)知a1＝9，d＝－20，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤112.∵n∈N*，∴n≤5时，an0，n≥6时，an0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.【解】∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋nn－12d＝13n＋nn－12×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×13＋1×42－(15n－2n2)＝2n2－15n＋56.∴Tn＝15n－2n2，n≤4，2n2－15n＋56，n≥5.[能力提升]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()A．12B．14C．16D．18【解析】Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝na1＋an2＝210，得n＝14.【答案】B2．(2015·海淀高二检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9【解析】因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，所以22－3k≥0，22－3k＋1≤0，所以193≤k≤223.因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.【答案】B3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是，项数是．【解析】设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋a2n2＝nan＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．【答案】1174．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.【导学号：05920069】(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？【解】(1)Sn＝na1＋nn－12d＝12n＋nn－12×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．(2)Sn＝－n2＋13n＝－n－1322＋1694，n∈N*，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．