高中数学人教A必修5学业分层测评12等比数列Word版含解析

学业分层测评（十二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．2＋3与2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2【解析】2＋3与2－3的等比中项为G＝±2＋32－3＝±1，故选C.【答案】C2．在等比数列{an}中，a2016＝8a2015，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8【解析】因为a2016＝8a2015，所以a1q2015＝8a1·q2014，解得q＝8.【答案】D3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－1312是此数列的()A．第2项B．第4项C．第6项D．第8项【解析】由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项an＝－432n－1，由－432n－1＝－1312，得n＝4.【答案】B4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2【解析】由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.又a，b，c，d成等比数列，即a,1,2，d成等比数列，所以d＝4，a＝12，故ad＝4×12＝2.【答案】B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】B二、填空题6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a27，则a3＝.【解析】设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a25＝4·a25q4.∴q4＝14，q2＝12，∴a3＝a1q2＝2×12＝1.【答案】17．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝.【解析】由已知得a10a3＝a1q9a1q2＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.【答案】3×2n－38．在等比数列{an}中，an0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝.【解析】由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.【答案】27三、解答题9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝827.(1)求数列{an}的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？【解】(1)因为2an＝3an＋1，所以an＋1an＝23，数列{an}是公比为23的等比数列，又a2·a5＝827，所以a21235＝233，由于各项均为负，故a1＝－32，an＝－23n－2.(2)设an＝－1681，则－1681＝－23n－2，23n－2＝234，n＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝an＋an＋12，bn＝an＋1－an.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{bn}的通项公式．【解】(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，∴bn＋1bn＝an＋2－an＋1an＋1－an＝an＋an＋12－an＋1an＋1－an＝－12.∴{bn}是等比数列．(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－12，∴bn＝1×－12n－1＝－12n－1.[能力提升]1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a6＋a7a8＋a9等于()A.2＋1B．3＋22C．3－22D．22－3【解析】设等比数列{an}的公比为q，由于a1，12a3,2a2成等差数列，则212a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±2.又等比数列{an}中各项都是正数，所以q0，所以q＝1＋2.所以a6＋a7a8＋a9＝a1q5＋a1q6a1q7＋a1q8＝1q2＝11＋22＝3－22.【答案】3－222．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.12D．18【解析】法一∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)，∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4a1＝214＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝14×2＝12，故选C.法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝14代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝12，故选C.【答案】C3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝，d＝.【解析】∵a2，a3，a7成等比数列，∴a23＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②由①②解得a1＝23，d＝－1.【答案】23－14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求an的表达式.【导学号：05920070】【解】(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，故a1＋1≠0，由上式易知an＋1≠0，∴an＋1＋1an＋1＝2.∴{an＋1}是等比数列．(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.