模块综合测评(一)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a1,b1,那么下列命题中正确的是()A.1a1bB.ba1C.a2b2D.aba+b【解析】利用特值法,令a=-2,b=2.则1a1b,A错;ba0,B错;a2=b2,C错.【答案】D2.一个等差数列的第5项a5=10,且a1+a2+a3=3,则有()A.a1=-2,d=3B.a1=2,d=-3C.a1=-3,d=2D.a1=3,d=-2【解析】∵a1+a2+a3=3且2a2=a1+a3,∴a2=1.又∵a5=a2+3d=1+3d=10,d=3.∴a1=a2-d=1-3=-2.【答案】A3.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.3∶2∶1C.3∶2∶1D.2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,∴A=90°,B=60°,C=30°.∴a∶b∶c=sin90°∶sin60°∶sin30°=1∶32∶12=2∶3∶1.【答案】D4.在坐标平面上,不等式组y≥x-1,y≤-3|x|+1所表示的平面区域的面积为()A.2B.32C.322D.2【解析】由题意得,图中阴影部分面积即为所求.B,C两点横坐标分别为-1,12.∴S△ABC=12×2×12--1=32.【答案】B5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=π3,b=1,△ABC的面积为32,则a的值为()A.1B.2C.32D.3【解析】根据S=12bcsinA=32,可得c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3,故a=3.【答案】D6.(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二,三,六项顺次成等比数列,且该等差数列不是常数数列,则这个等比数列的公比为()A.3B.4C.5D.6【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d,又∵a2·a6=a23,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),∴d=-2a1,∴q=a3a2=3.【答案】A7.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,12恒成立,则a的最小值为()A.0B.-2C.-52D.-3【解析】x2+ax+1≥0在x∈0,12上恒成立⇔ax≥-x2-1⇔a≥-x+1xmax,∵x+1x≥52,∴-x+1x≤-52,∴a≥-52.【答案】C8.(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40C.a1d0,dS40D.a1d0,dS40【解析】∵a3,a4,a8成等比数列,∴a24=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-53d2.∵d≠0,∴a1d0.∵Sn=na1+nn-12d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-23d20.【答案】B9.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是an和an+1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6=()A.189B.186C.180D.192【解析】由an+1=2an,知{an}为等比数列,∴an=2n.∴2bn=2n+2n+1,即bn=3·2n-1,∴S6=3·1+3·2+…+3·25=189.【答案】A10.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc0,T=1a+1b+1c,则()A.T0B.T0C.T=0D.T≥0【解析】法一取特殊值,a=2,b=c=-1,则T=-320,排除A,C,D,可知选B.法二由a+b+c=0,abc0,知三数中一正两负,不妨设a0,b0,c0,则T=1a+1b+1c=ab+bc+caabc=ab+cb+aabc=ab-c2abc.∵ab0,-c20,abc0,故T0,应选B.【答案】B11.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.23B.2C.2D.1【解析】由正弦定理得:asinA=bsinB,∵B=2A,a=1,b=3,∴1sinA=32sinAcosA.∵A为三角形的内角,∴sinA≠0.∴cosA=32.又0<A<π,∴A=π6,∴B=2A=π3.∴C=π-A-B=π2,∴△ABC为直角三角形.由勾股定理得c=12+32=2.【答案】B12.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项【解析】设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.所以前三项之积a31q3=2,后三项之积a31q3n-6=4,两式相乘,得a61q3(n-1)=8,即a21qn-1=2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以an1·qnn-12=64,即(a21qn-1)n=642,即2n=642,所以n=12.【答案】B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.在△ABC中,BC=2,B=π3,当△ABC的面积等于32时,sinC=________.【导学号:05920086】【解析】由三角形的面积公式,得S=12AB·BCsinπ3=32,易求得AB=1,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosπ3,得AC=3,再由三角形的面积公式,得S=12AC·BCsinC=32,即可得出sinC=12.【答案】1214.(2015·湖北高考)若变量x,y满足约束条件x+y≤4,x-y≤2,3x-y≥0,则3x+y的最大值是________.【解析】画出可行域,如图阴影部分所示,设z=3x+y,则y=-3x+z,平移直线y=-3x知当直线y=-3x+z过点A时,z取得最大值.由x+y=4,x-y=2,可得A(3,1).故zmax=3×3+1=10.【答案】1015.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,则k的取值范围为________.【解析】设产销量为每年x万瓶,则销售收入每年70x万元,从中征收的税金为70x·k%万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.【答案】[2,8]16.观察下列等式:12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…照此规律,第n个等式可为12-22+32-…+(-1)n-1n2=________.【解析】分n为奇数、偶数两种情况.第n个等式为12-22+32-…+(-1)n-1n2.当n为偶数时,分组求和:(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-(3+7+11+15+…+2n-1)=-n2×3+2n-12=-nn+12.当n为奇数时,第n个等式为(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-nn-12+n2=nn+12.综上,第n个等式为12-22+32-…+(-1)n-1n2=(-1)n+1nn+12.【答案】(-1)n+1nn+12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(a2+c2-b2,-3a),n=(tanB,c),且m⊥n,求∠B的值.【解】由m⊥n得(a2+c2-b2)·tanB-3a·c=0,即(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b2=3actanB,所以cosB=a2+c2-b22ac=32tanB,即tanBcosB=32,即sinB=32,所以∠B=π3或∠B=2π3.18.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,在等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,求b6.【导学号:05920087】【解】∵S9=-36=9a5,∴a5=-4,∵S13=-104=13a7,∴a7=-8.∴b26=b5·b7=a5·a7=32.∴b6=±42.19.(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).【导学号:05920088】【解】原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0.(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1;(2)当a0时,原不等式化为x-2a(x+1)≥0⇒x≥2a或x≤-1;(3)当a0时,原不等式化为x-2a(x+1)≤0.①当2a-1,即a-2时,原不等式等价于-1≤x≤2a;②当2a=-1,即a=-2时,原不等式等价于x=-1;③当2a-1,即-2a0时,原不等式等价于2a≤x≤-1.综上所述:当a-2时,原不等式的解集为-1,2a;当a=-2时,原不等式的解集为{-1};当-2a0时,原不等式的解集为2a,-1;当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1];当a0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪2a,+∞.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=14.(1)求△ABC的周长;(2)求cosA的值.【解】(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×14=4.∴c=2.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.(2)∵cosC=14,∴sinC=1-cos2C=1-142=154.∴sinA=asinCc=1542=158.∵ac,∴AC,故A为锐角,∴cosA=1-sin2A=1-1582=78.21.(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解】(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴an+2an-1≠0(n≥2),∴an+1+2anan+2an-1=3(n≥2),∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).又∵a1-3=2,∴an-3n≠0,∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).22.(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表:原料每种产品所需原料(t)现有原料数(t)AB甲2114乙1318利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大?(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变?当超出这个范围时,最优解有何变化?【解】(1)生产A,B两种产品分别为xt,yt,则利润z=5x+3y,x,y满足2x+y≤14,x+3y≤18,x≥0,y≥