高中数学人教A版必修4231同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案B2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.答案C3．在△ABC中，BC→＝3BD→，则AD→等于()A.13(AC→＋2AB→)B.13(AB→＋2AC→)C.14(AC→＋3AB→)D.14(AC→＋2AB→)2解析如右图所示，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝13(AC→＋2AB→)，故选A.答案A4．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP→等于()A．λ(AB→＋AD→)，λ∈(0,1)B．λ(AB→＋BC→)，λ∈0，22C．λ(AB→－AD→)，λ∈(0,1)D．λ(AB→－BC→)，λ∈0，22解析∵ABCD是菱形，且AC是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，AC→＝AB→＋AD→，而点P在AC上，∴三点A，P，C共线，∴AP→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案A35．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→等于()A．b＋12aB．b－12aC．a＋12bD．a－12b解析BE→＝BC→＋CE→＝AD→＋12BA→＝b－12a.答案B6．已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.解析∵a，b不共线，∴a，b可以作为一组基底，又c与b共线，∴c＝λ2b，∴λ1＝0.答案07．设向量a，b不共线，且OC1→＝k1a＋k2b，OC2→＝h1a＋h2b，若OC1→＋OC2→＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.解析OC1→＋OC2→＝(k1＋h1)a＋(k2＋h2)b＝ma＋nb.∴m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.答案k1＋h1k2＋h28．已知向量a与b的夹角是45°，则－2a与3b的夹角是________．答案135°9．设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，AP→＝13AB→，若AB→＝a，AC→＝b，试用a，b将MN→，NP→，PM→表示出来．解如图所示，4MN→＝CN→－CM→＝－13AC→－23CB→＝－13AC→－23(AB→－AC→)＝13AC→－23AB→＝13b－23a.同理可得NP→＝13a－23b，PM→＝－MP→＝－(MN→＋NP→)＝13a＋13b.10．如图所示，在▱ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点．已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→和AD→.解设AB→＝a，AD→＝b.由M，N分别为DC，BC的中点，得BN→＝12b，DM→＝12a.在△ABN和△ADM中，a＋12b＝d，①b＋12a＝c.②①×2－②，得a＝23(2d－c)．②×2－①，得b＝23(2c－d)．∴AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d).教师备课资源51.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为()A．不共线B．共线C．相等D．不能确定解析a＋b＝3e1－e2＝12c.故a＋b与c共线．答案B2．设平面向量a1，a2，a3的和a1＋a2＋a3＝0.如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，那么()A．－b1＋b2＋b3＝0B．b1－b2＋b3＝0C．b1＋b2－b3＝0D．b1＋b2＋b3＝0解析选用特例法∵a1＋a2＋a3＝0，∴a1，a2，a3构成三角形，不妨设其为正三角形．则bi实际上是将三角形顺时针旋转30°后再将其各边长度变为原来的2倍，仍为封闭图形——三角形．∴有b1＋b2＋b3＝0.答案D3．已知AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，试判断A，B，C，D四点构成的图形．解∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b，∴AD→＝2BC→，∴AD→∥BC→.若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使AB→＝λBC→，即a＋2b＝－4λa－λb，∴－4λ＝1，－λ＝2矛盾．∴A，B，C三点不共线，故A，B，C，D四点不共线．因而AD→∥BC→，又|AD→|＝2|BC→|≠|BC→|.故A，B，C，D四点构成梯形．4．已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且BLBC＝l，CMCA＝m，ANAB＝n，若AL→＋BM→＋CN→＝0.求证：l＝m＝n.6证明设BC→＝a，CA→＝b为基底．由已知BL→＝la，CM→＝mb.∵AB→＝AC→＋CB→＝－a－b，∴AN→＝nAB→＝－na－nb.∴AL→＝AB→＋BL→＝(l－1)a－b，①BM→＝BC→＋CM→＝a＋mb，②CN→＝CA→＋AN→＝－na＋(1－n)b.③将①②③代入AL→＋BM→＋CN→＝0，得(l－n)a＋(m－n)b＝0，∵a与b不共线，∴l＝m＝n.5.7在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.解∵M为BC的中点，∴BM→＝12BC→＝12(AC→－AB→)＝12(b－a)，AM→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)．∵DN→∥BM→，AN→与AM→共线，∴存在实数λ和μ，使得DN→＝λBM→＝12λ(b－a)，AN→＝μAM→＝12μ(a＋b)＝12μa＋12μb.AN→＝AD→＋DN→＝14a＋12λ(b－a)＝14－λ2a＋λ2b.根据平面向量基本定理，得14－λ2＝12μ，λ2＝12μ.解得λ＝μ＝14.∴DN→＝18(b－a)．