高中数学人教A版必修4242同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为()A.6365B.3365C．－3365D．－6365解析设a与b的夹角为θ，依题意cosθ＝a·b|a||b|＝3×5＋4×125×13＝6365.答案A2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，y)，a⊥b，则y等于()A．－1B．1C．－2D．2答案D3．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析AB→＝(3，－1)，AC→＝(－1，－3)，BC→＝(－4，－2)，∴|AB→|＝10，|AC→|＝10，|BC→|＝20.∴|AB→|＝|AC→|，且|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2＝20.∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.答案C4．已知a＝(0,1)，b＝(33，x)，向量a与b的夹角为π3，则x的值为()A．±3B．±3C．±9D．3解析cosπ3＝a·b|a|·|b|＝x27＋x2，∴2x＝27＋x2，且x0，∴3x2＝27，∴x＝3.答案D5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()2A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73解析不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－79，n＝－73.答案D6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐角，得a·b|a||b|＝2－2λ5·4＋λ20，即2－2λ0，∴λ1.当2－2λ5·4＋λ2＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．答案(－∞，－4)∪(－4,1)7．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.∴|a－2b|＝5.答案58．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)解析由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则b·(a－b)＝b·a－b2＝0，∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．答案[0,1]9．已知四点坐标：A(－1,3)，B(1,1)，C(4,4)，D(3,5)．3(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；(2)求cos∠DAB的值．解(1)证明：AB→＝(2，－2)，DC→＝(1，－1)，BC→＝(3,3)，∴AB→＝2DC→，∴AB→∥DC→.又∵AB→·BC→＝2×3＋(－2)×3＝0，∴AB→⊥BC→.又∵|AB→|≠|DC→|，∴四边形ABCD为直角梯形．(2)∵AD→＝(4,2)，AB→＝(2，－2)，∴|AB→|＝22＋－22＝22，|AD→|＝42＋22＝25.又∵AB→·AD→＝2×4＋(－2)×2＝4，∴cos∠DAB＝AB→·AD→|AB→||AD→|＝422×25＝1010.10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；4(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．∴|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，∴t＝－115.教师备课资源1.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)解析采用验证的方法知，c＝(－3，－2)满足c·a＝－6＋6＝0，所以c⊥a，b·c＝1×(－3)＋(－2)×(－2)＝1.因此可选C.答案C2．下列4个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形．③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.④(a＋b)·c＝a·c＋b·c.把你认为正确的序号填在横线上__________．解析①中共线的单位向量当方向相反时，不成立．②中当a＋b与c共线时，不成立．③正确，由向量的几何意义可知．④正确．应填③④.答案③④3．若向量a≠0，b＝a|a|，c＝(cosθ，sinθ)，则(b＋c)·(b－c)＝________.解析(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝|b|2－|c|2＝1－1＝0.5答案04．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，当λ为何值时，a＋λb与a垂直？解∵a＝(1,0)，b＝(1,1)，∴a＋λb＝(1,0)＋λ(1,1)＝(1＋λ，λ)．由于a＋λb与a垂直，∴1＋λ＋0＝0，∴λ＝－1.∴当λ＝－1时，a＋λb与a垂直．5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的射影的数量为()A.13B.135C.655D.65解析∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝13，|b|＝65，∴cosθ＝a·b|a||b|＝55.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝13×55＝655.答案C