高中数学人教A版必修4第3章三角恒等变换测试题含详解高中数学练习试题

1第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为()A.14B．－14C.34D．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案B2．若sin2α＝14，π4απ2，则cosα－sinα的值是()A.32B．－32C.34D．－34解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4απ2，∴cosαsinα，cosα－sinα＝－34＝－32.答案B3．sin15°sin30°sin75°的值等于()A.14B.34C.18D.38解析sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°sin30°＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18.答案C4．在△ABC中，∠A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()2A.2B.22C.32D.2解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，3sinA－cos(B＋C)＝3sinA＋cosA＝2(32sinA＋12cosA)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2.答案A5．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于()A．－65B．－45C.45D.65解析原式＝cos2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝65.答案D6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.答案D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，3∴cos26°cos28°cos30°，即bac.答案A8．三角形ABC中，若∠C90°，则tanA·tanB与1的大小关系为()A．tanA·tanB1B.tanA·tanB1C．tanA·tanB＝1D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tanA0，tanB0，tanC0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB0，易知1－tanA·tanB0，即tanA·tanB1.答案B9．函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4＝cos2π4－x－sin2x－π4＝cos2x－π4－sin2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x.答案A10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()A．[－2,2]B.1＋22，2C.1－22，1＋22D.－12，32解析y＝cos2x＋cosxsinx＝1＋cos2x2＋12sin2x＝12＋2222sin2x＋22cos2x4＝12＋22sin(2x＋π4)．∵x∈R，∴当sin2x＋π4＝1时，y有最大值1＋22；当sin2x＋π4＝－1时，y有最小值1－22.∴值域为1－22，1＋22.答案C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为()A.335B.45C．±35D．±45解析由sin(π－θ)＝2425，得sinθ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－725.∴cosθ2＝±1＋cosθ2＝±1－7252＝±35.答案C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα的值为()A.5665B.1665C.5665或1665D．以上都不对解析∵0α＋βπ，cos(α＋β)＝12130，∴0α＋βπ2，sin(α＋β)＝513.∵02α＋βπ，cos(2α＋β)＝350，∴02α＋βπ2，sin(2α＋β)＝45.∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案A5二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝tan2α＋1＋2tanα1－tan2α＝tanα＋121－tan2α＝1＋tanα1－tanα＝2012.答案201214．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.解∵cos2α＝13，∴sin22α＝89.∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12sin22α＝1－12×89＝59.答案5915.sinα＋30°＋cosα＋60°2cosα＝________.解析∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝cosα2cosα＝12.答案1216．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，则下列命题：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)最小正周期是π；③y＝f(x)在区间π24，13π24上是减函数；④将函数y＝2cos2x的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________．解析f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π66＝cos2x－π3＋sinπ2－2x＋π6＝cos2x－π3－sin2x－π3＝2·22cos2x－π3－22sin2x－π3＝2cos2x－π3＋π4＝2cos2x－π12，∴y＝f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x∈π24，13π24时，2x－π12∈[0，π]，∴y＝f(x)在π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y＝2cos2x－π24＝2cos2x－π12，故④正确．答案①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m＝cosα－23，－1，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈－π2，0.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求sin2αsinα－cosα的值．解(1)∵m与n为共线向量，∴cosα－23×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈－π2，0，∴sinα－cosα0.∴sinα－cosα＝－43.∴sin2αsinα－cosα＝712.718．(12分)求证：2－2sinα＋3π4cosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.证明左边＝2－2sinα＋π4＋π2cosα＋π4cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2－2cos2α＋π4cos2α－sin2α＝1－cos2α＋π2cos2α－sin2α＝1＋sin2αcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα.∴原等式成立．19．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解(1)fπ3＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝2×－12＋322－4×12＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3cosx－232－73，∵x∈R，cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝－1时，f(x)有最大值6；当cosx＝23时，f(x)有最小值－73.20．(12分)已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．解(1)解法1：∵x∈π2，3π4，8∴x－π4∈π4，π2，于是sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.解法2：由题设得22cosx＋22sinx＝210，即cosx＋sinx＝15.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝45，或sinx＝－35，因为x∈π2，3π4，所以sinx＝45.(2)∵x∈π2，3π4，故cosx＝－1－sin2x＝－1－452＝－35.sin2x＝2sinxcosx＝－2425.cos2x＝2cos2x－1＝－725.∴sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；9(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6所以f(x)的最小正周期为π.(2)－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3，当2x＋π6＝π2时，即x＝π6，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6时，即x＝－π6，f(x)取得最小值－1.22．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0αβ≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.解(1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋sinx－3π4＋π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加，得2cosβcosα＝0，∵0αβ≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.