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课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(山东高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3答案：B2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．82答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73答案：D4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152答案：A5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪－2，12B.12，＋∞C.－2，23∪23，＋∞D.－∞，12答案：A二、填空题6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝2，则|AB·n|的最大值为________．答案：47.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA⊥OB，则向量OB的坐标为________．答案：－22，228．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：－∞，－43∪0，13∪13，＋∞三、解答题9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝25，可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4，或x＝－2，y＝－4.故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.10．平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)当MA·MB取最小值时，求OM的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．解：(1)设OM＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量OM与OP共线，又OP＝(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴OM＝(2y，y)．又MA＝OA－OM，OA＝(1,7)，∴MA＝(1－2y,7－y)．同理MB＝OB－OM＝(5－2y,1－y)．于是MA·MB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝202×5＝2时，MA·MB有最小值－8，此时OM＝(4,2)．(2)当OM＝(4,2)，即y＝2时，有MA＝(－3,5)，MB＝(1，－1)，|MA|＝34，|MB|＝2，MA·MB＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos∠AMB＝MA·MB|MA||MB|＝－834×2＝－41717.11．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α2π)，b＝－12，32，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量3a＋b与a－3b的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a＋b＝cosα－12，sinα＋32，a－b＝cosα＋12，sinα－32，∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－14＋sin2α－34＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(3a＋b)2＝(a－3b)2，化简得a·b＝0，∴－12cosα＋32sinα＝0，∴tanα＝33，又0≤α2π，∴α＝π6或α＝7π6.