高中数学人教A版必修4课时达标检测二十九简单的三角恒等变换Word版含解析

课时达标检测（二十九）简单的三角恒等变换一、选择题1．cos2π8－12的值为()A．1B.12C.22D.24答案：D2．已知sinπ4－x＝35，则sin2x的值为()A.1925B.1625C.1425D.725答案：D3．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则有()A．abcB．abcC．acbD．bca答案：C4．化简sinα2＋cosα22＋2sin2π4－α2得()A．2＋sinαB．2＋2sinα－π4C．2D．2＋2sinα＋π4答案：C5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2上单调递减B．f(x)在π4，3π4上单调递减C．f(x)在0，π2上单调递增D．f(x)在π4，3π4上单调递增答案：A二、填空题6．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.答案：0或±37．等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为________．答案：2626或526268．在△ABC中，若cosA＝13，则sin2B＋C2＋cos2A等于________．答案：－19三、解答题9．若πα3π2，化简1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.解：∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.10．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？解：如图所示，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，AB＝1，PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB·sinα＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0απ2，－π42α－π434π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S四边形ABTP最大．11．设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．