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课时达标检测（十八）向量数乘运算及其几何意义一、选择题1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝()A．－aB．－bC．－cD．以上都不对答案：A2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④答案：A3.如图，向量OA，OB，OC的终点在同一直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－12p＋32qB．r＝－p＋2qC．r＝32p－12qD．r＝－q＋2p答案：A4．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝23CA＋13CB，又AP＝tAB，则t的值为()A.13B.23C.12D.53答案：A5．如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直答案：A二、填空题6.如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．答案：14(b－a)7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝13CA＋λCB，则λ等于________．答案：238．已知两个不共线向量e1，e2，且AB＝e1＋λe2，BC＝3e1＋4e2，CD＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案：－35三、解答题9．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a，b，c表示BC，MN，DN＋CN.解：BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋c.∵MN＝MD＋DA＋AN，MN＝MC＋CB＋BN，∴2MN＝MD＋MC＋DA＋CB＋AN＋BN＝－AD－BC＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.∴MN＝12a－b－12c.DN＋CN＝DM＋MN＋CM＋MN＝2MN＝a－2b－c.10．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－3OB，求△AOB与△AOC的面积之比．解：如图，由平行四边形法则，知OA＋OC＝OD，其中E为AC的中点．所以OA＋OC＝2OE＝－3OB.所以OB＝－23OE，|OB|＝23|OE|.设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝12|OB|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|OE|·h，所以S△AOBS△AOC＝12|OB―→|·h|OE―→|·h＝12·|OB―→||OE―→|＝12×23＝13.11．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，∴AM＝λAB(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．又∵AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)(1，＋∞)