高中数学人教A版必修4阶段质量检测三Word版含解析

阶段质量检测(三)(A卷学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x的最小正周期为()A．2πB．πC.π2D.π4答案：C2．已知α是第二象限角，且cosα＝－35，则cosπ4－α的值是()A.210B．－210C.7210D．－7210答案：A3．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝45，且β是第三象限角，则cosβ2的值等于()A．±55B．±255C．－55D．－255答案：A4．设sinθ＝35，cosθ＝－45，则2θ的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D5．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)的值为()A.14B.12C．4D．12答案：C6．(湖北高考)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π6答案：B7．在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C8．若cos2αsinα－π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A．－72B．－12C.12D.72答案：C9．已知sinα－cosα＝－52，则tanα＋1tanα的值为()A．－5B．－6C．－7D．－8答案：D10．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()A．－433B．8C．43D．－43答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．答案：15712．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝________.答案：313．已知θ∈π2，π，1sinθ＋1cosθ＝22，则sin2θ＋π3的值为________．答案：1214．已知(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，则sin2x＋2cos2x1＋tanx的值为________．答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)．由fπ4＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－sin2x·(2cos2x－1)＝－12sin4x，因为fα4＝－12sinα＝－25，即sinα＝45，又α∈π2，π，从而cosα＝－35，所以sinα＋π3＝sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝4－3310.16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4·cos2α，求cosα－sinα的值．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，得sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.17．(本小题满分12分)已知f(x)＝sinx＋2sinπ4＋x2cosπ4＋x2.(1)若f(α)＝22，α∈－π2，0，求α的值；(2)若sinx2＝45，x∈π2，π，求f(x)的值．解：(1)f(x)＝sinx＋2sinπ4＋x2cosπ4＋x2＝sinx＋sinx＋π2＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.由f(α)＝22，得2sinα＋π4＝22，∴sinα＋π4＝12.∵α∈－π2，0，∴α＋π4∈－π4，π4.∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x∈π2，π，∴x2∈π4，π2.又∵sinx2＝45，∴cosx2＝35.∴sinx＝2sinx2cosx2＝2425，cosx＝－1－sin2x＝－725.∴f(x)＝sinx＋cosx＝2425－725＝1725.18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．解：(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.∴函数f(x)的最小正周期为π.∵f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，∴函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又∵f(x0)＝65，∴sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.∴cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.(B卷能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．cos24°sin54°－cos66°sin36°的值为()A．0B.12C.32D．－12解析：选B因为cos24°sin54°－cos66°sin36°＝cos24°sin54°－sin24°cos54°＝sin(54°－24°)＝sin30°＝12，故选B.2．若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值为()A．0B．1C．±1D．－1解析：选B由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.3．下列各式中，值为－34的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D.12－cos215°解析：选D用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－34.4．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα＋π4等于()A.75B.15C．－75D．－15解析：选B依题意可得cosα＝45，∴2cosα＋π4＝2·cosαcosπ4－2sinαsinπ4＝cosα－sinα＝45－35＝15.5．设tan(α＋β)＝5，tanβ－π4＝4，那么tanα＋π4的值等于()A．－919B.121C.119D.921解析：选Btanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋β·tanβ－π4＝5－41＋5×4＝121.6．在△ABC中，若tanAtanB＋tanA＋tanB＝1，则cosC的值是()A．－22B.22C.12D．－12解析：选A由tanAtanB＋tanA＋tanB＝1，得tanA＋tanB＝1－tanAtanB，所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝1.又tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝－1，所以C＝3π4，cosC＝cos3π4＝－22.7．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈0，π2的最小值为()A．－2B．－3C．－2D．－1解析：选Df(x)＝2sinx－π4，x∈0，π2.∵－π4≤x－π4≤π4.∴f(x)min＝2sin－π4＝－1.8．已知α、β为锐角，且cosα＝110，cosβ＝15，则α＋β的值是()A.3π4B.π3C.π4或3π4D.π3或2π3解析：选A∵α、β为锐角，且cosα＝110，cosβ＝15，∴sinα＝1－cos2α＝310，sinβ＝1－cos2β＝25.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝110×15－310×25＝－22.∵0α＋βπ，∴α＋β＝3π4.9．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则此三角形为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵sinBsinC＝cos2A2，∴sinBsinC＝1＋cosA2，可得2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．∴cos(B－C)＝1.又角B、角C为△ABC的内角，∴B－C＝0，即B＝C.故选B.10．已知函数f(x)＝sin23x＋cos23x－π6，对任意实数α，β，当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是()A．3πB.3π2C.4π3D.2π3解析：选Bf(x)＝sin23x＋cos23x－π6＝sin23x＋sin23x＋π3＝3sin23x＋π6.又当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f(x)的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝2π23＝3π，从而选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．函数f(x)＝2cos2x2＋sinx的最小正周期是________．解析：化简得f(x)＝1＋2sinx＋π4，∴T＝2π1＝2π.答案：2π12．已知sinα＝23，α∈π2，π，cosβ＝－34，β∈π，3π2，则cos(α＋β)＝________.解析：因为sinα＝23，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－53.因为cosβ＝－34，β∈π，3π2，所以sinβ＝－1－cos2β＝－74.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－53×－34－23×－74＝35＋2712.答案：35＋271213．sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈0，π2，则α＋β＝________.解析：∵α，β∈0，π2，sinα＝35，cosβ＝35，∴cosα＝45，sinβ＝45.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝0.∵α，β∈0，π2，∴0α＋βπ，故α＋β＝π2.答案：π214．cos6·tan6的符号为________(填