学业分层测评(二十一)均匀随机数的产生(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.与均匀随机数特点不符的是()A.它是[0,1]内的任何一个实数B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数【解析】A、B、C是均匀随机数的定义,均匀随机数的均匀是“等可能”的意思,并不是“随机数的平均数”.【答案】D2.要产生[-3,3]上的均匀随机数y,现有[0,1]上的均匀随机数x,则y可取为()A.-3xB.3xC.6x-3D.-6x-3【解析】法一:利用伸缩和平移变换进行判断;法二:由0≤x≤1,得-3≤6x-3≤3,故y可取6x-3.【答案】C3.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()A.49πB.94πC.4π9D.9π4【解析】由题意知所求的概率为P=0.5×0.5π×1.522=49π.【答案】A4.一次试验:向如图3312所示的正方形中随机撒一大把豆子,经查数,落在正方形的豆子的总数为N粒,其中有m(mN)粒豆子落在该正方形的内切圆内,以此估计圆周率π的值为()图3312A.mNB.2mNC.3mND.4mN【解析】设正方形的边长为2a,依题意,P=πa24a2=mN,得π=4mN,故选D.【答案】D5.(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3313所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图3313A.π2B.π4C.π6D.π8【解析】设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P(A)=阴影面积长方形面积=12π·121×2=π4.【答案】B二、填空题6.如图3314,矩形的长为6,宽为3,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为125颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为________.图3314【解析】∵矩形的长为6,宽为3,则S矩形=18,∴S阴S矩=S阴18=125300,∴S阴=152.【答案】1527.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为________.【导学号:28750067】【解析】∵方程无实根,∴Δ=1-4a0,∴a14,即所求概率为34.【答案】348.如图3315,在一个两边长分别为a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形的上、下底分别为14a与12a,高为b,向该矩形内随机投一点,那么所投点落在梯形内部的概率为________.图3315【解析】∵图中梯形的面积为s=12×14a+12a×b=38ab,矩形的面积为S=ab,∴落在梯形内部的概率为:P=sS=38abab=38.【答案】38三、解答题9.箱子里装有5个黄球,5个白球,现在有放回地取球,求取出的是黄球的概率,如果用计算机模拟该试验,请写出算法.【解】P=510=12,用计算机模拟法时可认为0~1之间的随机数x与事件的对应是:当x在0~0.5时,确定为摸到黄球;当x在0.5~1之间时,确定为摸到白球.具体算法如下:第一步,用计数器n记录做了多少次摸球的试验,用计算器m记录其中有多少次显示的黄球,置n=0,m=0;第二步,用函数RAND产生一个0~1的随机数x;第三步,如果这个随机数在0~0.5之间,我们认为是摸到黄球,判断x是不是在0~0.5之间,如果是,则m的值加1,即m=m+1;否则m的值保持不变;第四步,表示随机试验次数的记录器n加1,即n=n+1,如果还需要继续试验,则返回第二步继续执行;否则,执行下一步;第五步,摸到黄球发生的频率mn作为概率的近似值.10.对某人某两项指标进行考核,每项指标满分100分,设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的.单项80分以上,且总分170分以上才合格,求他合格的概率.【解】设某人两项的分数分别为x分、y分,则0≤x≤100,0≤y≤100,某人合格的条件是80<x≤100,80<y≤100,x+y>170,在同一平面直角坐标系中,作出上述区域(如图阴影部分所示).由图可知:0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100=10000,合格条件构成的区域面积为S五边形BCDEF=S矩形ABCD-S△AEF=400-12×10×10=350,所以所求概率为P=35010000=7200.该人合格的概率为7200.[能力提升]1.P为圆C1:x2+y2=9上任意一点,Q为圆C2:x2+y2=25上任意一点,PQ中点组成的区域为M,在C2内部任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A.1325B.35C.1325πD.35π【解析】设Q(x0,y0),中点M(x,y),则P(2x-x0,2y-y0),代入x2+y2=9,得(2x-x0)2+(2y-y0)2=9,化简得x-x022+y-y022=94,故M轨迹是以x02,y02为圆心,以32为半径的圆,又点(x0,y0)在圆x2+y2=25上,所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带,即应有x2+y2=r2(1≤r≤4),所以在C2内部任取一点落在M内的概率为16π-π25π=35,故选B.【答案】B2.(2016·广州模拟)如图3316,已知圆的半径为10,其内接三角形ABC的内角A,B分别为60°和45°,现向圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在三角形ABC内的概率为()图3316A.3+316πB.3+34πC.4π3+3D.16π3+3【解析】由正弦定理BCsinA=ACsinB=2R(R为圆的半径)⇒BC=20sin60°,AC=20sin45°⇒BC=103,AC=102.那么S△ABC=12×103×102sin75°=12×103×102×6+24=25(3+3).于是,豆子落在三角形ABC内的概率为S△ABCS圆=25(3+3)102π=3+34π.【答案】B3.(2016·保定模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.【解析】如图,与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面,其体积V1=12×43π×13=2π3.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23-2π3,根据几何概型概率公式得,点P与点O的距离大于1的概率P=23-2π323=1-π12.【答案】1-π124.从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达,若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去,问他能赶上车的概率是多少?【解】记事件A={能赶上车}.(1)利用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,x=x1*0.5+9.5,y=y1*0.5+9.75,得到一组[9.5,10],一组[9.75,10.25]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及赶上车的次数N1(满足xy的点(x,y)数).(4)计算频率fn(A)=N1N,即为能赶上车的概率的近似值.