高中数学人教A版必修二模块综合测评Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为()A．6B．1C．2D．4【解析】由题意知kAB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是()A．2x－3y－6＝0B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．22B.223C.423D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝433.【答案】D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P到坐标原点的距离为13；②OP的中点坐标为12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2B．3C．4D．5【解析】点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】A5．如图1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为()图1A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】因为MN⊥DC，MN⊥MC，所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM.因为MN∥AD1，所以AD1⊥DM.【答案】D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于()图2A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22.【答案】B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】C8．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是()【导学号：09960153】A．3B.212C．22D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k2＋1＝5，∵k＞0，∴k＝2，故选D.【答案】D12．(2016·德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为()A.212a3B.a312C.24a3D.a36【解析】取AC的中点O，如图，则BO＝DO＝22a，又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC，所以DO⊥平面ACB，VD­ABC＝13S△ABC·DO＝13×12×a2×22a＝212a3.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝________.【解析】由于两直线平行，所以2m＝36≠1－5，∴m＝4.【答案】414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.横放时水桶底面在水内的面积为14πR2－12R2，水的体积为V水＝14πR2－12R2h.直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x，∴x∶h＝(π－2)∶4π.【答案】(π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是________．【解析】设点C的坐标为(x，y)，则由|AB|＝|AC|得x－32＋y－202＝3－32＋20－52，化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．【答案】(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝532＋－42＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为2－02＋－1－12＝22，又02225，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．【解】(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0，又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0，所以C0，－12，设B(b,0)，则AB的中点Db2，12，代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2，所以B(2,0)．(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0，②①②联立可得，M－12，－52，半径|MA|＝14＋494＝502，所以所求圆方程为x＋122＋y＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图4(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E­ABC的体积．【解】(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC