高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评2Word版含答案

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形【解析】由题意知a2＋b2－c22ab0，即cosC0，∴△ABC为钝角三角形．【答案】C2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值为()A．19B．14C．－18D．－19【解析】由余弦定理的推论知cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝1935，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos(π－B)＝7×5×－1935＝－19.【答案】D3．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且bc，则b＝()A．3B．22C．2D．3【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又bc，∴b＝2.【答案】C4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】∵sinC＝23sinB，由正弦定理，得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.【答案】A5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是()A.0，π3B.π3，πC.0，π6D．π6，π【解析】cosB＝a2＋c2－b22ac＝a－c2＋ac2ac＝a－c22ac＋12≥12，∵0Bπ，∴B∈0，π3.故选A.【答案】A二、填空题6．(2014·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于．【解析】∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.【答案】17．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是．【解析】由正弦定理知：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．设sinA＝5k，sinB＝7k，sinC＝8k，∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴cosB＝25＋64－492×5×8＝12，∴B＝π3.【答案】π38．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为．【解析】由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－14三、解答题9．在△ABC中，(1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．(2)b＝6，c＝2，B＝60°，求a.【解】(1)显然角C最大，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C＝120°.(2)法一由正弦定理bsinB＝csinC，得sinC＝csinBb＝2sin60°6＝36＝22，∴C＝45°或C＝135°.∵bc，∴BC，又∵B＝60°，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝6＋4－46×cos75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a＝4＋23＝3＋1.法二∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴6＝a2＋4－4acos60°＝a2＋4－2a.∴a2－2a－2＝0.解得a＝1＋3或a＝1－3(不合题意，舍去)，∴a＝1＋3.10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．【解】(1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－12，且C∈(0，π)，∴C＝2π3.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2，∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝10.[能力提升]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解析】由2c2＝2a2＋2b2＋ab得，a2＋b2－c2＝－12ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12ab2ab＝－140，所以90°C180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是()A．(5，5)B．(1,5)C．(5，13)D．(13，5)【解析】三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得22＋32－x20，22＋x2－320，解得5x13.【答案】C3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝.【解析】由正弦定理得sinAsinC＝ac，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2·sinAsinC·cosA＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.【答案】14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.【导学号：05920060】(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．【解】(1)由b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.