搜索
学业分层测评（二十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·新余高二检测)某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()A.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝20x＋40yB.x＋y≥10，2x＋y≥10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝20x＋40yC.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，z＝20x＋40yD.x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈N，z＝40x＋20y【解析】由题意易知选A.【答案】A2．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z＝2x－y的最小值等于()A．－52B．－2C．－32D．2【解析】作出可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．由x－2y＋2＝0，x＋2y＝0，得点A－1，12，zmin＝2×(－1)－12＝－52.【答案】A3．设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.－32，6B.－32，－1C.[]－1，6D.－6，32【解析】作出可行域如图所示．目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－32，在B点处z取最大值为6.【答案】A4．已知实数x，y满足条件x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1B.12C．－12D．－1【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】A5．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解析】设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】D二、填空题6．满足不等式组x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0，并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．【解析】首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大．【答案】(0,5)7．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0，则z＝3x＋2y的最小值是________.【导学号：05920078】【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t＝x＋2y，则y＝－12x＋t2，当x＝0，y＝0时，t最小＝0.z＝3x＋2y的最小值为1.【答案】18．设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．【解析】由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－20，解得m－23.【答案】－∞，－23三、解答题9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？【解】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为x＋y≤12，2x＋y≤19，10x＋6y≥72，x≤8，y≤7，x∈N*，y∈N*.目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即zmax＝450×7＋350×5＝4900.10．(2015·辽宁三校联考)变量x，y满足条件x－y＋1≤0，y≤1，x＞－1，求(x－2)2＋y2的最小值．【解】不等式组x－y＋1≤0，y≤1，x＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方．由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥22＋1＝5，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2≥5.[能力提升]1．(2014·北京高考)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－12【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－2k，0.∵z＝y－x的最小值为－4，∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.【答案】D2．(2014·山东高考)已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.5D．2【解析】法一线性约束条件所表示的可行域如图所示．由x－y－1＝0，2x－y－3＝0，解得x＝2，y＝1，所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝25，a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝(5a－4)2＋4≥4.法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝25.又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当a2＋b2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4.故选B.【答案】B3．(2014·浙江高考)当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a0，数形结合知，满足1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32，所以a的取值范围是1≤a≤32.【答案】1，324．设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值．【解】可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知a1≤13，4a1＋4×32d≥10，5a1＋5×42d≤15，化简为a1≤13，2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3，求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为x≤13，2x＋3y≥5，x＋2y≤3，求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．由z＝x＋3y，得y＝－13x＋z3，平移直线y＝－13x，由图可知，当直线y＝－13x＋z3过点A时，z有最大值．由2x＋3y＝5，x＋2y＝3，得A(1,1)，所以zmax＝1＋1×3＝4，即a4的最大值为4.