高中数学人教A版必修四模块综合检测AWord版含答案

模块综合检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA等于()A.1213B.513C．－513D．－12132．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于()A.12B．－2C．－7D．33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinαcosα等于()A.25B．－25C.25或－25D．－155．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为()A．y＝－4sinπ8x＋π4B．y＝4sinπ8x－π4C．y＝－4sinπ8x－π4D．y＝4sinπ8x＋π46．若|a|＝2cos15°，|b|＝4sin15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于()A.32B.3C．23D.127．为得到函数y＝cos(x＋π3)的图象，只需将函数y＝sinx的图象()A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－239．若2α＋β＝π，则y＝cosβ－6sinα的最大值和最小值分别是()A．7,5B．7，－112C．5，－112D．7，－510．已知向量a＝(sin(α＋π6)，1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)等于()A．－34B．－14C.34D.1411．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于()A．4B．6C．8D．1212．已知向量OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则OA→与OB→夹角的范围是()A.0，π4B.π4，5π12C.π12，5π12D.5π12，π2题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．sin2010°＝________.14．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ(θ为锐角)，且a∥b，则tanθ＝________.15．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB→在CD→上的投影为________．16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f(x)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a＝(sinx，32)，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求2cos2x－sin2x的值；(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.19．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0φπ2，求cosφ的值．20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f(－1112π)的值；(2)当x∈[0，π4)时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0απ2，－π2β0，且sinβ＝－513，求sinα.模块综合检测(A)答案1．D[∵cos2A＋sin2A＝1，且sinAcosA＝－512，∴cos2A＋(－512cosA)2＝1且cosA0，解得cosA＝－1213.]2．D[∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)．∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0∴k＝3.]3．D[AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝AC→2＋CB→·AC→＝AC→2＋0＝16.]4．B[∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sinα＝－2cosα.∴tanα＝－2.∴sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－2－22＋1＝－25.]5．A[由图可知，A＝4，且6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得ω＝π8φ＝－34π.∴y＝4sin(π8x－3π4)＝－4sin(π8x＋π4)．]6．B[由cos30°＝a·b|a||b|得32＝a·b2cos15°·4sin15°＝a·b4sin30°∴a·b＝3，故选B.]7．C[y＝cos(x＋π3)＝sin(x＋π3＋π2)＝sin(x＋5π6)，∴只需将函数y＝sinx的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋π3)的图象．]8．A[由于AD→＝2DB→，得CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，结合CD→＝13CA→＋λCB→，知λ＝23.]9．D[∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sinα＝－cos2α－6sinα＝2sin2α－1－6sinα＝2sin2α－6sinα－1＝2sinα－322－112当sinα＝1时，ymin＝－5；当sinα＝－1时，ymax＝7.]10．B[a·b＝4sin(α＋π6)＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B[将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设π2＝k·2πω(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．]12．C[建立如图所示的直角坐标系．∵OC→＝(2,2)，OB→＝(2,0)，CA→＝(2cosα，2sinα)，∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量OA→与OB→的夹角范围是∠MOB≤〈OA→，OB→〉≤∠NOB.∵|OC→|＝22，∴|CM→|＝|CN→|＝12|OC→|，知∠COM＝∠CON＝π6，但∠COB＝π4.∴∠MOB＝π12，∠NOB＝5π12，故π12≤〈OA→，OB→〉≤5π12.]13．－12解析sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析∵a∥b，∴(1－sinθ)(1＋sinθ)－12＝0.∴cos2θ＝12，∵θ为锐角，∴cosθ＝22，∴θ＝π4，∴tanθ＝1.15.2105解析AB→＝(2,2)，CD→＝(－1,3)．∴AB→在CD→上的投影|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝2×－1＋2×3－12＋32＝410＝2105.16．sin(πx2＋π6)解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得T22＋1＋12＝22，解得T＝4，故ω＝2πT＝π2，即f(x)＝sin(πx2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f(x)＝sin(πx2＋π6)．17．解(1)∵a∥b，∴32cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－32，2cos2x－sin2x＝2cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x＝2－2tanx1＋tan2x＝2013.(2)f(x)＝(a＋b)·b＝22sin(2x＋π4)．∵－π2≤x≤0，∴－3π4≤2x＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x＋π4)≤22，∴－22≤f(x)≤12，∴f(x)max＝12.18．(1)解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥b.19．解(1)∵a·b＝0，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sinθ＝255，cosθ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，∴cosφ＝sinφ.∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12.又∵0φπ2，∴cosφ＝22.20．解(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12.由于ω0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12.当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2，所以22≤sin4x＋π4≤1.因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间0，π16上的最小值为1.21．解(1)f(x)＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，∴f(－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cosπ6＝3.(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)．∵x∈[0，π4)，∴2x＋π4∈[π4，3π4)．∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.22．解(1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)，|a－b|2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sinβ＝－513得cosβ＝1213.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.