高中数学人教A版必修四课时训练16三角函数模型的简单应用16Word版含答案

§1.6三角函数模型的简单应用课时目标1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的性质(1)ymax＝________，ymin＝________.(2)A＝________________，k＝________________________________.(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin100πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A.150sB.1100sC．50sD．100s2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6等于()A．3或0B．－3或0C．0D．－3或34.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12＋3sinπ6t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sinπ6t＋π，t∈[0,24]C．y＝12＋3sinπ12t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sinπ12t＋π2，t∈[0,24]题号12345答案二、填空题6．函数y＝2sinm3x＋π3的最小正周期在23，34内，则正整数m的值是________．7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．8．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于________．三、解答题9.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asinωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．§1.6三角函数模型的简单应用答案知识梳理1.2π|ω|2π|ω|π|ω|2．(1)A＋k－A＋k(2)ymax－ymin2ymax＋ymin2(3)ω＝2πT(4)0π2π32π2π3．周期作业设计1．A2.A3．D[因为fπ6＋x＝fπ6－x，所以直线x＝π6是函数f(x)图象的对称轴．所以fπ6＝3sinπ6ω＋φ＝3sinkπ＋π2＝±3.因此选D.]4．C[d＝f(l)＝2sinl2.]5．A[在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]6．26,27,28解析∵T＝6πm，又∵236πm34，∴8πm9π，且m∈Z，∴m＝26,27,28.7．80解析T＝2π160π＝180(分)，f＝1T＝80(次/分)．8.g4π2解析T＝2πgl＝1.∴gl＝2π.∴l＝g4π2.9．解(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ－π2φ0是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP在时间t(s)内所转过的角为5×2π60t＝π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sinπ6t＋φ＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z＝4sinπ6t－π6＋2.(2)令z＝4sinπ6t－π6＋2＝6，得sinπ6t－π6＝1，令π6t－π6＝π2，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4s.10．解(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3，B＝12(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．11．C[∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4，此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∴d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.]12．10sinπt60解析将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60.